矩[1](英语:moment)又称动差[2][3],其概念来自于物理学。在物理学中,矩用来表示物体形状的物理量,为重要参数指标。在数学中,矩的概念是用来度量一组具有一定形态特点的点阵。举个常用的例子,一个“二阶矩”,我们在一维上可以测量它的“宽度”;而在更高阶的维度上,由于其适用于椭球的空间分布,我们还可以对点的云结构进行测量和描述。其他的矩用来描述诸如与均值的歪斜分布情况(偏态),或峰值的分布情况(峰态)等其他方面的分布特点。
定义
设随机变量(或统计量,下同)
的概率密度函数为
。
对于离散型随机变量,在存在的前提下,其相对于值
的
阶矩为:
![{\displaystyle \mu _{n}=\sum \limits _{i=1}^{\infty }(x_{i}-c)^{n}P(x_{i})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/00301206b8711e2ef5b499b4fc793c4933b95f3d)
对于连续型随机变量,在存在的前提下,其相对于值
的
阶矩为:
![{\displaystyle \mu _{n}=\int _{-\infty }^{\infty }(x-c)^{n}\,f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7b3bb3182488a4d5494dba12749dcb7d72a6693f)
特别地,当
时称之为原点矩,当
时称之为中心矩。
期望(Expectation)
随机变量的期望値定义为其1阶原点矩:
![{\displaystyle E(x)=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afd470e4d144292639e6fb5f5e7d805e50b9cc8c)
在方差等定义中,期望也称为随机变量的“中心”。显然,任何随机变量的1阶中心矩为0。
方差(Variance)
随机变量的方差定义为其2阶中心矩:
![{\displaystyle \operatorname {Var} (x)=\int _{-\infty }^{\infty }\left[x-E(x)\right]^{2}\,f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/51d47fb22eae21867f3e0318c4c090dc07103f3e)
偏态(Skewness)
随机变量的偏态定义为其3阶中心矩:
![{\displaystyle S(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{3}\,f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/35cf608aa14029d806647575453c1897f41db289)
峰态(Kurtosis)
随机变量的峰态定义为其4阶中心矩:
![{\displaystyle K(x)=\int _{-\infty }^{\infty }[x-E(x)]^{4}\,f(x)\,dx}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2539a77f3d27838e749c8e3d8c2bf24acdac1b91)
样本矩
矩常常通过样本矩
![{\displaystyle \mu '_{n}\approx {\frac {1}{N}}\sum _{i=1}^{N}X_{i}^{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/501200afd63934e71fed712205e87cd5e02cffa5)
来估计。此方法不需要先估计其概率分布。
参见
外部链接
- ^ 龚曙明. 应用统计学. 清华大学出版社有限公司. 2005: 91 [2023-07-26]. ISBN 9787810825863. (原始内容存档于2023-07-26).
- ^ 国家教育研究院. 數學名詞(第四版). 2014: 元照出版公司. : 259 [2023-07-26]. ISBN 9789860440454. (原始内容存档于2023-07-26).
- ^ 国家教育研究院. 土木工程名詞 (第三版). 元照出版公司. 2015: 133 [2023-07-26]. ISBN 9789860465402. (原始内容存档于2023-07-26).