讨论:海伦公式

将三角形三个端点ABC底边外的两边长视为两条直线旋转,C点为两圆(A,B)的半径旋转交点
${\overline {AB}}=a\quad {\overline {AC}}=b\quad {\overline {BC}}=c$

$x^{2}+y^{2}=b^{2}$
$(x-a)^{2}+y^{2}=c^{2}$

解联立可得C点x,y

$x={\cfrac {a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}}$或可由此另证余弦定理

$y={\sqrt {b^{2}-x^{2}}}$
$={\cfrac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{2a}}$

有趣的是y的因式分解与海龙公式相当类似,仅差了两倍再除以底边长度,从上式的y经移项为底乘以高

$ay={\cfrac {\sqrt {(a+b+c)(b+c-a)(a+c-b)(a+b-c)}}{2}}$

若海龙公式表示面积,则由此结果三角形面积可能为底乘以高,重点在于两者差异为何差了两倍? 因为这是由线段延伸而得出的结果,若以点线面的方式来看面积的定义是否该以三角形的底乘以高,而不是以四边形的面积定义着手? --Birdsfree（留言） 2015年7月1日 (三) 08:51 (UTC)

海伦-秦九韶公式

海伦-秦九韶公式不是已知三边的任意三角形的最简面积公式。—alufans