数学上,勒贝格微分定理是实分析的一条定理。这条定理大致是说,一个局部可积函数在几乎每点的值,都是函数在该点为中心的无限小的球上的平均。换言之,该函数的定义域上几乎处处都是勒贝格点。
定理叙述
设
为实值或复值的局部可积函数,m为
的勒贝格测度。那么
中几乎处处的x都符合
![{\displaystyle \lim _{r\to 0}{\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e693f3759abc81847d52c983951a4aec288321e)
使上式成立的点称为
的勒贝格点。
证明
因为这定理是关于函数的局部性质,不失一般性,可假设函数f定义在有界集合中,故f为可积函数。
定义
![{\displaystyle (T_{r}f)(x)={\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|f(y)-f(x)\right|dm(y)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3d3b5027745c158265a0108ecebdd0fb9b44b8e4)
![{\displaystyle (Tf)(x)=\limsup _{r\to 0}(T_{r}f)(x)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4a6b2da947fcb7ca077a12606cf2ad5efb7c067)
那么这定理就是对几乎处处的x有Tf = 0。只需证对任何y > 0,集合{Tf > y}的测度为零。
对连续函数,这定理显然成立。连续函数在
中稠密,故此对任意正整数n,有连续函数g使得
。
令
。由于g连续,有Tg = 0。
用三角不等式有
![{\displaystyle (T_{r}h)(x)\leq {\frac {1}{m(B(x,r))}}\int _{B(x,r)}\left|h\right|dm+|h(x)|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/368ccbeb539f35dcff0c54a548fc89668635fe75)
设
。(Mh为h的哈代-李特尔伍德极大函数。)从上式得
![{\displaystyle Th\leq Mh+|h|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e661c8aad2d479125b6b21ca9fa57eedf6a08200)
因为
,所以有
![{\displaystyle Tf\leq Th\leq Mh+|h|}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3cdcdb388f34b038f2d7a8c535defccde834c495)
若Tf > y,则有Mh > y/2或者|h| > y/2。因此
由哈代-李特尔伍德极大不等式得
![{\displaystyle m\{Mh>y/2\}\leq 3^{k}(2/y)\|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}<3^{k}\cdot 2/(ny)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667f20cff44c10184b055e416d8eca7546797dc5)
由积分的基本性质有
![{\displaystyle m\{|h|>y/2\}y/2\leq \|h\|_{\mathrm {L} ^{1}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/06f887c77ba7dc2cdabb555e6a92e606c335eb53)
故得
![{\displaystyle m\{|h|>y/2\}\leq 2/(ny)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/569f0f13509fb0ff25c2384a9d770ffc01f46d29)
因此
![{\displaystyle {\begin{aligned}&m\{Tf>y\}\\&\leq m\{Mh>y/2\}+m\{|h|>y/2\}\\&<2(3^{k}+1)/(ny)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f51bac3bdeffb08d6f6b5c6c3eb4ddea1243056e)
因为上式对所有正整数n成立,从而知m{Tf > y}=0。定理得证。
参考
- Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.