提示:此条目页的主题不是
单位元。
单位圆。变量
是角度
在数学中,单位圆(英语:Unit circle)是指半径为单位长度的圆,通常为欧几里得平面直角坐标系中圆心为
、半径为1的圆。单位圆对于三角函数和复数的坐标化表示有着重要意义。单位圆通常表示为S1。多维空间中,单位圆可推广为单位球。
如果单位圆上的点
位于第一象限,那么
与
是斜边长度为1的直角三角形的两条边,根据勾股定理,
与
满足方程:
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3355977edf02b3a9c4fe9c3a4786007359d4fd8)
由于对于所有的
来说
,并且所有这些点相对于x轴或者y轴的反射点也都位于单位圆上,因此单位圆上的所有点都满足上面的方程。
单位圆与三角函数
事实上,不仅仅是正弦与余弦,而且所有六个标准三角函数—正弦(sin)、馀弦(cos)、正切(tan)、馀切(cot)、正割(sec)、馀割(csc)以及不常用的正矢(versin)和其相关函数、外正割(exsec)、外馀割(excsc)和历史上曾存在的弦函数(crd)—都可以在单位圆表示出来。
在直角三角形中,正弦、余弦以及其它三角函数只有当角度大于0且小于
时才有意义。但是,在单位圆上,对于任意的实数角度,这些函数都有直观的意义。
角度
的所有三角函数都可以在圆心为
的单位圆上表示出来
设
是单位圆上的一个点。设角
的起始边为x轴的正方向,角度按照逆时针方向测量。那么角t的终边和单位圆会有一个交点。因此:
![{\displaystyle \cos(t)=x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91f69a7802ffc14612b91dc14124827f202602a)
![{\displaystyle \sin(t)=y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9376b576059b4e0082bb107edc2199d0bc9cf12)
另外,从
可以得到
![{\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a912ff32588be615198cf75e49e9463b3f4cfa)
从这里还可以直观地看出正弦函数与余弦函数都是周期函数,对于任意的整数
有恒等式
![{\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455cd2fbb897f57314112d3c9205ec8446b74197)
![{\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609a13a0aec95e14aab2f3925a191d7203c3292f)
单位圆上已知准确座标的点
这些恒等式的依据是在角度
增加任意圈数或者减小任意圈数的时候x与y坐标保持不变。一圈
弧度。
复数的圆群
复数也可以用欧几里得平面内的点来表示,
表示为
。在这种表示下,单位圆是不断增加的群,在数学以及科学领域这个群有很重要的应用。
参见