提示:此條目頁的主題不是
單位元。
單位圓。變量
是角度
在數學中,單位圓(英語:Unit circle)是指半徑為單位長度的圓,通常為歐幾里得平面直角坐標系中圓心為
、半徑為1的圓。單位圓對於三角函數和複數的坐標化表示有着重要意義。單位圓通常表示為S1。多維空間中,單位圓可推廣為單位球。
如果單位圓上的點
位於第一象限,那麼
與
是斜邊長度為1的直角三角形的兩條邊,根據勾股定理,
與
滿足方程:
![{\displaystyle x^{2}+y^{2}=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3355977edf02b3a9c4fe9c3a4786007359d4fd8)
由於對於所有的
來說
,並且所有這些點相對於x軸或者y軸的反射點也都位於單位圓上,因此單位圓上的所有點都滿足上面的方程。
單位圓與三角函數
事實上,不僅僅是正弦與餘弦,而且所有六個標準三角函數—正弦(sin)、餘弦(cos)、正切(tan)、餘切(cot)、正割(sec)、餘割(csc)以及不常用的正矢(versin)和其相關函數、外正割(exsec)、外餘割(excsc)和歷史上曾存在的弦函數(crd)—都可以在單位圓表示出來。
在直角三角形中,正弦、餘弦以及其它三角函數只有當角度大於0且小於
時才有意義。但是,在單位圓上,對於任意的實數角度,這些函數都有直觀的意義。
角度
的所有三角函數都可以在圓心為
的單位圓上表示出來
設
是單位圓上的一個點。設角
的起始邊為x軸的正方向,角度按照逆時針方向測量。那麼角t的終邊和單位圓會有一個交點。因此:
![{\displaystyle \cos(t)=x\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e91f69a7802ffc14612b91dc14124827f202602a)
![{\displaystyle \sin(t)=y\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9376b576059b4e0082bb107edc2199d0bc9cf12)
另外,從
可以得到
![{\displaystyle \cos ^{2}(t)+\sin ^{2}(t)=1\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/69a912ff32588be615198cf75e49e9463b3f4cfa)
從這裡還可以直觀地看出正弦函數與餘弦函數都是周期函數,對於任意的整數
有恆等式
![{\displaystyle \cos t=\cos(2\pi k+t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/455cd2fbb897f57314112d3c9205ec8446b74197)
![{\displaystyle \sin t=\sin(2\pi k+t)\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/609a13a0aec95e14aab2f3925a191d7203c3292f)
單位圓上已知準確座標的點
這些恆等式的依據是在角度
增加任意圈數或者減小任意圈數的時候x與y坐標保持不變。一圈
弧度。
複數的圓群
複數也可以用歐幾里得平面內的點來表示,
表示為
。在這種表示下,單位圓是不斷增加的群,在數學以及科學領域這個群有很重要的應用。
參見