在几何学 中，圆内接四边形的日本定理 指出，圆内接四边形 内某些三角形 的内心 形成一个矩形 。
任意圆内四边形被对角线分成四个三角形（每条对角线分出两个三角形）。这些三角形的内心 形成一个矩形。
具体而言，设□ABCD M 1 M 2 M 3 M 4 △ABD △ABC △BCD △ACD M 1 M 2 M 3 M 4
□M 1 M 2 M 3 M 4
|
∢
A
B
D
|
=
|
∢
A
C
D
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|}
（以下称为
α
{\displaystyle \alpha }
A
D
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}}
因为
|
∢
A
M
1
D
|
=
180
∘
−
|
∢
B
A
D
|
+
|
∢
B
D
A
|
2
=
180
∘
−
180
∘
−
|
∢
A
B
D
|
2
=
90
∘
+
|
α
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}}
由此可得，
|
∢
A
M
1
D
|
=
|
∢
A
M
4
D
|
=
90
∘
+
|
α
|
2
{\displaystyle \left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}
由于这些角相等，
◻
A
M
1
M
4
D
{\displaystyle \square AM_{1}M_{4}D}
圆内接四边形 。
根据圆内接四边形 的性质，现在有
|
∢
M
1
M
4
D
|
=
180
∘
−
|
∢
D
A
M
1
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|}
同样地，对于
◻
D
C
M
4
M
3
{\displaystyle \square DCM_{4}M_{3}}
|
∢
D
M
4
M
3
|
=
180
∘
−
|
∢
M
3
C
D
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|}
角度相加，得到以下结果
|
∢
M
1
M
4
D
|
+
|
∢
D
M
4
M
3
|
=
360
∘
−
|
∢
D
A
M
1
|
−
|
∢
M
3
C
D
|
=
360
∘
−
|
∢
D
A
B
|
+
|
∢
B
C
D
|
2
=
360
∘
−
180
∘
2
=
270
∘
_
_
{\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}}
由于
∢
M
1
M
4
M
3
=
270
∘
{\displaystyle \sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }}
所以
∢
M
3
M
4
M
1
=
90
∘
{\displaystyle \sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }}
以上对于点
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
{\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
因此，
◻
M
1
M
2
M
3
M
4
{\displaystyle \square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}
[ 1]
根据Thébault定理(3) 有如下结论[ 2]
定理 — Thébault定理(3) 给定任意三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
，
B
C
{\displaystyle BC}
上任意一点
M
{\displaystyle M}
。作两个圆，均与
A
M
{\displaystyle AM}
、
B
C
{\displaystyle BC}
、外接圆相切。该两圆的圆心
P
{\displaystyle P}
、
Q
{\displaystyle Q}
和三角形内心
I
{\displaystyle I}
三点共线共线，且
P
I
I
Q
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
其中
θ
=
∠
A
M
B
{\displaystyle \theta =\angle AMB}
下面开始处理原题。
4个黄色圆
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
O
b
c
{\displaystyle O_{bc}}
先标记题目中四个三角形的内心 是
I
a
{\displaystyle I_{a}}
I
b
{\displaystyle I_{b}}
I
c
{\displaystyle I_{c}}
I
d
{\displaystyle I_{d}}
假设对角线 AC 和 BD 交于 E .
与线段 AE 、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
类似地，与线段 BE 、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
CE 、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
DE 、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
b
c
{\displaystyle O_{bc}}
设 AE 、BE 的夹角是
θ
{\displaystyle \theta }
Thébault定理(3) 有如下结论：
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
I
d
{\displaystyle I_{d}}
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
O
c
d
I
d
I
d
O
d
a
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
同理，
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
I
a
{\displaystyle I_{a}}
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
O
a
b
I
a
I
a
O
d
a
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
所以，
I
a
I
d
/
/
O
a
b
O
c
d
{\displaystyle I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}}
由于
O
c
d
O
a
b
⊥
O
d
a
O
b
c
{\displaystyle O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}}
E
{\displaystyle E}
I
a
I
d
⊥
I
d
I
c
{\displaystyle I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}}
I
a
I
b
I
c
I
d
{\displaystyle I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}}
过
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
{\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}
该定理可推广到圆内接多边形的日本定理 。
证明了四边形的情况后，可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。
