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圆内接四边形的日本定理

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几何学中,圆内接四边形的日本定理指出,圆内接四边形内某些三角形内心形成一个矩形

任意圆内四边形被对角线分成四个三角形(每条对角线分出两个三角形)。这些三角形的内心形成一个矩形。

具体而言,设ABCD为任意圆内接四边形, M1, M2, M3, M4分别为三角形ABD, ABC, BCD, ACD内心,则M1, M2, M3, M4所构成的四边形为矩形。

证明1

M1M2M3M4是矩形。

(以下称为角),因为这两个角都是弦的周角。

因为

由此可得,

由于这些角相等,是一个圆内接四边形

根据圆内接四边形的性质,现在有

同样地,对于也成立:

角度相加,得到以下结果

由于

所以

以上对于点之间的其他角度也同样成立,它们都是

因此,是一个矩形。证毕。[1]

证明2

根据Thébault定理(3)有如下结论[2]

定理 — 
Thébault定理(3)
给定任意三角形上任意一点。作两个圆,均与、外接圆相切。该两圆的圆心和三角形内心三点共线共线,且

其中.

下面开始处理原题。

4个黄色圆.

先标记题目中四个三角形的内心.

假设对角线 ACBD 交于 E.

与线段 AEBE 及外接圆相切的圆的圆心记为

类似地,与线段 BECE 及外接圆相切的圆的圆心记为、与线段 CEDE 及外接圆相切的圆的圆心记为、与线段 DEAE 及外接圆相切的圆的圆心记为.

AEBE 的夹角是,根据上面的Thébault定理(3)有如下结论:

三点共线,且

同理,三点共线,且

所以,

由于 (因为它们沿着角 的角平分线),所以 ,所以 是矩形。证毕。

推广

作四边形的对角线的平行线,形成一个平行四边形,由作图可知平行四边形为菱形,于是“与各对角线相切的内切圆半径之和相等”。

该定理可推广到圆内接多边形的日本定理

证明了四边形的情况后,可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。

又见

参考

  1. ^ 证明 – 圆内接四边形的日本定理 Beweisarchiv – Japanischer Satz für konzyklische Vierecke. Wikibooks. [2024-06-18]. (原始内容存档于2024-06-18) (德语). 
  2. ^ Wilfred Reyes: An Application of Thebault's Theorem页面存档备份,存于互联网档案馆). Forum Geometricorum, Volume 2, 2002, pp. 183–185

外部链接