在几何学 中,圆内接四边形的日本定理 指出,圆内接四边形 内某些三角形 的内心 形成一个矩形 。
任意圆内四边形被对角线分成四个三角形(每条对角线分出两个三角形)。这些三角形的内心 形成一个矩形。
具体而言,设□ABCD 为任意圆内接四边形, M 1 , M 2 , M 3 , M 4 分别为三角形△ABD , △ABC , △BCD , △ACD 内心,则M 1 , M 2 , M 3 , M 4 所构成的四边形为矩形。
证明1
□M 1 M 2 M 3 M 4 是矩形。
|
∢
A
B
D
|
=
|
∢
A
C
D
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle ABD\right|=\left|\sphericalangle ACD\right|}
(以下称为
α
{\displaystyle \alpha }
角),因为这两个角都是弦
A
D
¯
{\displaystyle {\overline {AD}}}
的周角。
因为
|
∢
A
M
1
D
|
=
180
∘
−
|
∢
B
A
D
|
+
|
∢
B
D
A
|
2
=
180
∘
−
180
∘
−
|
∢
A
B
D
|
2
=
90
∘
+
|
α
|
2
{\displaystyle {\begin{aligned}\left|\sphericalangle AM_{1}D\right|&=180^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle BAD\right|+\left|\sphericalangle BDA\right|}{2}}\\&=180^{\circ }-{\frac {180^{\circ }-\left|\sphericalangle ABD\right|}{2}}\\&=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}\end{aligned}}}
由此可得,
|
∢
A
M
1
D
|
=
|
∢
A
M
4
D
|
=
90
∘
+
|
α
|
2
{\displaystyle \left|\sphericalangle AM_{1}D\right|=\left|\sphericalangle AM_{4}D\right|=90^{\circ }+{\frac {\left|\alpha \right|}{2}}}
由于这些角相等,
◻
A
M
1
M
4
D
{\displaystyle \square AM_{1}M_{4}D}
是一个圆内接四边形 。
根据圆内接四边形 的性质,现在有
|
∢
M
1
M
4
D
|
=
180
∘
−
|
∢
D
A
M
1
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|}
同样地,对于
◻
D
C
M
4
M
3
{\displaystyle \square DCM_{4}M_{3}}
也成立:
|
∢
D
M
4
M
3
|
=
180
∘
−
|
∢
M
3
C
D
|
{\displaystyle \left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=180^{\circ }-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|}
角度相加,得到以下结果
|
∢
M
1
M
4
D
|
+
|
∢
D
M
4
M
3
|
=
360
∘
−
|
∢
D
A
M
1
|
−
|
∢
M
3
C
D
|
=
360
∘
−
|
∢
D
A
B
|
+
|
∢
B
C
D
|
2
=
360
∘
−
180
∘
2
=
270
∘
_
_
{\displaystyle \left|\sphericalangle M_{1}M_{4}D\right|+\left|\sphericalangle DM_{4}M_{3}\right|=360^{\circ }-\left|\sphericalangle DAM_{1}\right|-\left|\sphericalangle M_{3}CD\right|=360^{\circ }-{\frac {\left|\sphericalangle DAB\right|+\left|\sphericalangle BCD\right|}{2}}=360^{\circ }-{\frac {180^{\circ }}{2}}={\underline {\underline {270^{\circ }}}}}
由于
∢
M
1
M
4
M
3
=
270
∘
{\displaystyle \sphericalangle M_{1}M_{4}M_{3}=270^{\circ }}
所以
∢
M
3
M
4
M
1
=
90
∘
{\displaystyle \sphericalangle M_{3}M_{4}M_{1}=90^{\circ }}
以上对于点
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
{\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}
之间的其他角度也同样成立,它们都是
90
∘
{\displaystyle 90^{\circ }}
。
因此,
◻
M
1
M
2
M
3
M
4
{\displaystyle \square M_{1}M_{2}M_{3}M_{4}}
是一个矩形。证毕。[1]
证明2
根据Thébault定理(3) 有如下结论[2] :
定理 — Thébault定理(3) 给定任意三角形
A
B
C
{\displaystyle ABC}
,
B
C
{\displaystyle BC}
上任意一点
M
{\displaystyle M}
。作两个圆,均与
A
M
{\displaystyle AM}
、
B
C
{\displaystyle BC}
、外接圆相切。该两圆的圆心
P
{\displaystyle P}
、
Q
{\displaystyle Q}
和三角形内心
I
{\displaystyle I}
三点共线共线,且
P
I
I
Q
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {PI}{IQ}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
其中
θ
=
∠
A
M
B
{\displaystyle \theta =\angle AMB}
.
下面开始处理原题。
4个黄色圆
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
、
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
、
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
、
O
b
c
{\displaystyle O_{bc}}
.
先标记题目中四个三角形的内心 是
I
a
{\displaystyle I_{a}}
、
I
b
{\displaystyle I_{b}}
、
I
c
{\displaystyle I_{c}}
、
I
d
{\displaystyle I_{d}}
.
假设对角线 AC 和 BD 交于 E .
与线段 AE 、BE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
,
类似地,与线段 BE 、CE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
、与线段 CE 、DE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
、与线段 DE 、AE 及外接圆相切的圆的圆心记为
O
b
c
{\displaystyle O_{bc}}
.
设 AE 、BE 的夹角是
θ
{\displaystyle \theta }
,根据上面的Thébault定理(3) 有如下结论:
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
、
I
d
{\displaystyle I_{d}}
、
O
c
d
{\displaystyle O_{cd}}
三点共线,且
O
c
d
I
d
I
d
O
d
a
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {O_{cd}I_{d}}{I_{d}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
同理,
O
a
b
{\displaystyle O_{ab}}
、
I
a
{\displaystyle I_{a}}
、
O
d
a
{\displaystyle O_{da}}
三点共线,且
O
a
b
I
a
I
a
O
d
a
=
tan
2
θ
2
{\displaystyle {\frac {O_{ab}I_{a}}{I_{a}O_{da}}}=\tan ^{2}{\frac {\theta }{2}}}
所以,
I
a
I
d
/
/
O
a
b
O
c
d
{\displaystyle I_{a}I_{d}/\!/O_{ab}O_{cd}}
由于
O
c
d
O
a
b
⊥
O
d
a
O
b
c
{\displaystyle O_{cd}O_{ab}\perp O_{da}O_{bc}}
(因为它们沿着角
E
{\displaystyle E}
的角平分线),所以
I
a
I
d
⊥
I
d
I
c
{\displaystyle I_{a}I_{d}\perp I_{d}I_{c}}
,所以
I
a
I
b
I
c
I
d
{\displaystyle I_{a}I_{b}I_{c}I_{d}}
是矩形。证毕。
推广
过
M
1
,
M
2
,
M
3
,
M
4
{\displaystyle M_{1},M_{2},M_{3},M_{4}}
作四边形的对角线的平行线,形成一个平行四边形,由作图可知平行四边形为菱形,于是“与各对角线相切的内切圆半径之和相等”。
该定理可推广到圆内接多边形的日本定理 。
证明了四边形的情况后,可以把一般多边形分成三角形进行归纳而立即证明一般情况。
又见
参考
外部链接