此条目介绍的是范畴论中的广群。关于具有单一二元运算的代数结构,请见“
原群”。
在数学中,尤其在范畴论和同伦论中,广群(groupoid,或勃兰特广群,Brandt groupoid)是对群的概念的抽象化。广群可被视为:
在存在依赖类型的情况下,一般来说,一个范畴可视作是类型化的幺半群;广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族,于是态射可以是类型化的
、
。于是组合是全函数:
,于是
。
广群的特例包括:
广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入,其思想暗含在勃兰特半群的概念中。[2]
定义
广群指的是代数结构
,包含非空集G与定义在G上的二元偏函数'
'。
代数定义
广群是具备一元运算
与偏函数
的集合G,当中的*不是二元运算,因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件,这些条件因情况而异。
运算*、−1有以下公理性质:
:
- 结合律:若定义了
,则
。
- 逆元:
、
总有定义。
- 单位元:若定义了
,则
。(由前两条性质可推知。)
从中可得到两个简单方便的性质:
;
- 若定义了
,则
。[3]
范畴论定义
广群是小范畴,其中每个态射都可逆,即是同构。[1]更明确地说,广群G是对象集合
,其中
- 每对对象x、y,都有从x到y的态射(或箭头)的(可能是空)集合
,其中的元素写作![{\displaystyle f:\ x\to y;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/67c411a778a4e47d61aac8346f4f912e8c96ca3b)
- 每个对象x,
的指定元素![{\displaystyle \mathrm {id} _{x};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e7daf0df8feb547cbf48f4a50b8a6fedfa283346)
- 对任意三个元素x、y、z都有函数
![{\displaystyle \mathrm {comp} _{x,y,z}:G(y,z)\times G(x,y)\rightarrow G(x,z):(g,f)\mapsto gf;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ce8aed269a216423476feeef374edb8d31e4cf17)
- 对任意两个元素x、y都有函数
、![{\displaystyle \mathrm {id} _{y}\ f=f;}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/db5d77ce9e28791bd2c35da47e52c350df22f340)
![{\displaystyle (hg)f=h(gf);}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/80e8a669c6203af629e31845d53863e17ad537dd)
、![{\displaystyle f^{-1}f=\mathrm {id} _{x}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a2b6b3ff00b09ef8004eb41c69dc88feb456afc3)
若
则称x为f的源,记作
;y称作f的目标,记作
。广群G有时记作
,当中
是所有态射的集合,两个箭头
代表源和目标。
更一般地,可以考虑任意范畴中的广群对象,其允许有限的纤维积。
定义比较
代数定义与范畴论定义等价,下面证明。给定范畴论定义广群,令G为所有集合
的不交并(即x到y的态射的集合);则
、
就成了G上的偏运算,而
事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为
、−1为
,这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及
(及
)。
反过来,给定代数定义的广群G,用
定义其元素上的等价关系:
,若
令G0为
的等价类集合,即
。若
且
,用
记a ∗ a−1。
现在定义
为所有使
存在的f的集合。给定
其组合定义为
这是良定义的,因为可观察到
、
都存在,
也存在。这样,x的恒等态射就是
,f的范畴论逆是f−1。
上述定义中的集合可用类代替,这在范畴论中很常见。
顶点群与轨道
给定广群G,其中的顶点群或迷向群或轨道群是
的子群。从上述公理不难看出,它们确实是群,因为每对元素都可组合,且逆元都在同一个群中。
广群G在点
处的轨道由集合
给出,当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上,则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构:若
,则同构由
给出。
轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道(等价地是连通的),则称之为传递的。那么,所有顶点群都同构(另一方面,这不是传递性的充分条件,反例下详)。
子广群与态射
的子广群是子范畴
,其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴,即
都有
或
,则也称其为宽或满。
广群映射简单说就是两个(范畴论)广群间的函子。
有几种特殊的广群态射值得关注。若
都有
,使得
,则广群的态射
称作纤维化。若这样的e是唯一的,则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用,可用来模拟空间的覆盖映射。[4]
同样,给点广群B的覆盖态射范畴,等同于广群B对对集合的作用范畴。
例子
拓扑
给定拓扑空间X,令
为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类,若两条路径同伦,就称它们等价。
先沿第一条路径,再沿第二条路径,两个这样的态射便组合到一起;同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群,记作
(有时是
)。[5]通常的基本群
于是就是点x的顶点群。
基本广群
的轨道是X的路径连通成分。相应地,路径连通空间的基本广群是传递的,我们恢复了已知的事实,即任意基点上的基本群是同构的。此外,基本广群和基本群这时作为范畴是等价的(一般理论见下文)。
这一思想的重要推广是考虑基本广群
,其中
是选定的基点集合。当中
是
的(宽)子广群,这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。
等价关系
若X是集合体,即具有等价关系
的集合,则“表示”这等价关系的广群可由如下构成:
- 广群对象是X的元素;
有单态射
,当且仅当
;
与
的组合是
。
这个广群的顶点群总是平凡的;此外,这个广群一般不传递,其轨道正是等价类。有两个极端例子:
- X每个元素若都与X的其他元素有联系,则就得到了X的对广群,其以整个
作为箭头集,且是传递的。
- X每个元素若只与自身有关系,就得到了单位广群,其以X为箭头集,
,是完全不传递的(每个单子
都是轨道)。
例子
切赫广群
切赫广群[6]:5是一类特殊的广群,与某个流形X的开覆盖
所给出的等价关系相关联。其对象由不交并
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{0}=\coprod U_{i}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fb32e950e67d22048fec542a66c7a3cd7b9e6b17)
给出,其箭头是相交
.
源映射与目标映射由诱导映射给出
![{\displaystyle {\begin{aligned}s=\phi _{j}:U_{ij}\to U_{j}\\t=\phi _{i}:U_{ij}\to U_{i}\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/02432935e5b79bcc74c351f16fe7da0e69c13c8b)
包含映射
![{\displaystyle \varepsilon :U_{i}\to U_{ii}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6a7dd789921db2964108e15dcfc2a1dd15baf6f7)
则给出了广群的结构。实际上,还可设置
![{\displaystyle {\mathcal {G}}_{n}={\mathcal {G}}_{1}\times _{{\mathcal {G}}_{0}}\cdots \times _{{\mathcal {G}}_{0}}{\mathcal {G}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e1d51c7d4dd02a9de27eefcff40f6b6eb3b1c99)
为n次迭代的纤维积来进一步扩展,其中
表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射,因为
![{\displaystyle {\begin{matrix}U_{ijk}&\to &U_{ij}\\\downarrow &&\downarrow \\U_{ik}&\to &U_{i}\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/31d73ef142b2b2cfbbaa46ee7eadf71d739e057f)
是笛卡儿图,其中到
的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型;此外,这种构造的另一个产物是k-上循环
![{\displaystyle [\sigma ]\in {\check {H}}^{k}({\mathcal {U}},{\underline {A}})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a4d80e00b1963ce9610eb17e06c5acf1d845dc36)
对某个阿贝尔群之常数层可表为函数
![{\displaystyle \sigma :\coprod U_{i_{1}\cdots i_{k}}\to A}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5d9b6d1bb34238ad55a039e1ab123db6136d6885)
给出了上同调类的明确表示。
群作用
若群G作用于集合X,则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群:
- 对象是X的元素;
,态射
对应
,使得
;
- 态射的复合解释了G的二元运算。
更明确地说,作用广群是小范畴
、
,源映射和目标映射分别为
、
。通常表示为
(对于右作用记为
)。广群中的乘法(或组合)就是
,定义条件是
。
,顶点群由
的
组成,这只是给定作用在x处的迷向子群(这就是顶点群称为迷向子群的原因)。同样,作用广群的轨道是群作用的轨道,广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。
另一种描述G集合的方法是函子范畴
,当中
是1个元素的广群(范畴),同构于群G。事实上,这个范畴的每个函子F都定义了集合
(即对
中的每个态射)诱导了双射
:
。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。(唯一)可表函子F:
是G的凯莱表示。事实上,这个函子与
同构,因此将
送到集合
,后者的定义就是“集合”G和
的态射g(即G的元素g)到集合G的置换
。由米田嵌入推导出:群G同构于G的置换群的子群
。
有限集
考虑
在有限集
上的群作用,其将每个数取负,于是
、
。商广群
是这个群作用的等价类集合
,
在其上有群作用
。
商簇
任何映射到
的有限群G都会在仿射空间
上产生群作用(由于这是自同构群)。于是,商广群的形式可以是
,有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间
及其子空间,如卡拉比-丘轨形。
广群的纤维积
给定具有广群态射的广群图
![{\displaystyle {\begin{aligned}&&X\\&&\downarrow \\Y&\rightarrow &Z\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9c9cc984d876b1007da88f53049c3f80a2c648d1)
其中
、
,可组成广群
,其对象为三元组
,其中
。态射可定义为一对态射
,其中
,使得对三元组
中有
的交换图。[7]
同调代数
具体阿贝尔范畴中对象的二项复形
![{\displaystyle C_{1}{\overset {d}{\rightarrow }}C_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb48d3a136dc9cc83ad9822165d1c906b13f90ad)
可形成广群。其对象是集合
,箭头是集合
;源映射只是到
的映射,目标映射是对
与d的组合跟到
的映射的加法。也就是说,给定
,有
![{\displaystyle t(c_{1}+c_{0})=d(c_{1})+c_{0}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9f75e41a2b283d75eaa6aeca9c0dee34d7bbd0c1)
当然,若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴,则这种构造可用于形成广群的预层。
游戏
魔方可用群论来建模(见魔方群),也有些游戏更适合用广群建模。[8]
数字推盘游戏的变换就是广群(不是群,因为并非所有移动都能复合)。[9][10][11]这一广群作用作用于构型。
马蒂厄广群
马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群,这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。
与群的关系
若广群只有一个对象,则其态射集构成群。由代数定义,这样的广群实际上就是群。 [12]群论的许多概念都能推广到广群,用函子概念取代群同态。
每个传递/连通的广群(即如上所述,任意两对象都由至少一个态射相连)都与作用广群(如上定义)
同构。根据传递性,这个作用下只有一个轨道。
注意刚才提到的同构不唯一,也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象
、群同构
、
态射
。
若广群没有传递性,则就同构于上述类型的广群的不交并,也称作其连通成分(每个连通成分可能具有不同的群G与集合X)。
用范畴论的术语来说,广群的每个连通成分都等价(但不同构)于只有1个对象的广群,即单群。因此,任何广群都等价于无关群的多重集;换句话说,对等价(而非同构),我们不需要指定集合X,而只需指定群G。例如,
- X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合,但同构要指定每个成分的点集;
- 具有等价关系
的集合X等价(作为广群)于每个等价类的平凡群的一个副本,但同构需要说明每个等价类;
- 具备群G的作用的集合X等价(作为广群)于作用的每个轨道的G的一个副本,但同构需要说明每个轨道是什么集合。
即使从范畴论的角度来看,把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息,因为是不自然的。因此,当广群以其他结构出现时,保持整个广群是有帮助的;否则就必须选择一种方法,以从单群的角度看待每个
,而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中,必须连贯地选择路径(或路径的等价类),从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。
一个更有启发性的例子是,有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。
广群的态射比群的更多样:例如,有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此,群G的子群H会产生‘’G对G中H的陪集集的作用,从而产生K到G的覆盖态射p,其中K是顶点群与H同构的广群。这样,群G的表示就可以“提升”到广群K的表示,这是获取子群H的表现信息的有用方法。
广群范畴
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴,记作Grpd。
Grpd与小范畴相似,是笛卡儿闭范畴:对任意广群
,我们都可以构造广群
,其对象是态射
、箭头是态射的自然等价。于是,若
只是群,则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是,对任何广群
都有自然双射
即使所有广群
都只是群,这个结果也有意义。
Grpd既是完全范畴,又是余完全范畴。
包含态射
有左右伴随函子:
![{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(C[C^{-1}],G)\cong \hom _{\mathbf {Cat} }(C,i(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aba2ef04dc7f96b977927c6013566ad91d5f9043)
![{\displaystyle \hom _{\mathbf {Cat} }(i(G),C)\cong \hom _{\mathbf {Grpd} }(G,\mathrm {Core} (C))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ec386d402aac1a7fec759bbbd2f640190929ea9b)
当中,
表示反转每个态射的范畴局部化,
表示所有同构的子范畴。
神经函子
将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。
神经有左伴随
![{\displaystyle \hom _{\mathbf {Grpd} }(\pi _{1}(X),G)\cong \hom _{\mathbf {sSet} }(X,N(G))}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/91a1aa940c4e2e76712e8270a5821926aa405899)
当中
表示单纯集X的基本广群。
Grpd中的广群
广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构,即双重广群。[13][14]因为Grpd是2范畴,这些对象构成了2范畴,比1范畴有额外的结构。本质上说,这些对象是具有函子
![{\displaystyle s,t:{\mathcal {G}}_{1}\to {\mathcal {G}}_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fb63e0b6027184b41102d920a1b5175c059e865)
的广群
,以及由恒等函子
![{\displaystyle i:{\mathcal {G}}_{0}\to {\mathcal {G}}_{1}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/93d2a78bfa98fb5be98c7cecc5a5610663b643f7)
给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如,给定方块
与![{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3941ab1bf29aee2cd5995fe5b14e5ae62ac972dc)
其中
是同一个态射,则可以垂直相连,得到图
![{\displaystyle {\begin{matrix}\bullet &\to &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\xrightarrow {a} &\bullet \\\downarrow &&\downarrow \\\bullet &\to &\bullet \end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b8dc929864720459a20e431b201adc79cb16c8e5)
可将垂直箭头转置,得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。
具有几何结构的广群
研究几何对象时,产生的广群通常带有拓扑,使其成为拓扑广群;一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究,这与李群和李代数之间的关系类似。
从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如,泊松几何中有辛广群的概念,后者是具有相容辛形式的李广群。同样,也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。
另见
脚注
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- ^ Hazewinkel, Michiel (编), Brandt semi-group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
- ^
第一个性质的证明:由公理2、3,可知
将1式代入2式,再应用公理3:
得证。
第二个性质的证明:由于定义了
,于是是
因此也定义了
。进一步地,由于定义了
,有
也定义了。由公理3可知
得证。
- ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (see chapter 2)
- ^ fundamental groupoid in nLab. ncatlab.org. [2017-09-17]. (原始内容存档于2023-04-06).
- ^ 6.0 6.1 Block, Jonathan; Daenzer, Calder. Mukai duality for gerbes with connection. 2009-01-09. arXiv:0803.1529
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- ^ The 15-puzzle groupoid (2) 互联网档案馆的存档,存档日期2015-12-25., Never Ending Books
- ^ Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see delooping in nLab. ncatlab.org. [2017-10-31]. (原始内容存档于2023-04-05). .
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- nLab的fundamental groupoid条目
- nLab的core条目