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廣群

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數學中,尤其在範疇論同倫論中,廣群(groupoid,或勃蘭特廣群,Brandt groupoid)是對的概念的抽象化。廣群可被視為:

在存在依賴類型的情況下,一般來說,一個範疇可視作是類型化的么半群;廣群也可簡單視作類型化的群。對象到對象的態射形成類型的依賴族,於是態射可以是類型化的。於是組合是全函數:,於是

廣群的特例包括:

廣群常用於研究流形幾何物體。廣群最先由海因里希·勃蘭特於1927年引入,其思想暗含在勃蘭特半群的概念中。[2]

定義

廣群指的是代數結構,包含非空集G與定義在G上的二元偏函數''。

代數定義

廣群是具備一元運算偏函數的集合G,當中的*不是二元運算,因為其不一定定義在G中所有的元素對上。這裡不闡述定義*的確切條件,這些條件因情況而異。

運算*、−1有以下公理性質:

  1. 結合律:若定義了,則
  2. 逆元總有定義。
  3. 單位元:若定義了,則。(由前兩條性質可推知。)

從中可得到兩個簡單方便的性質:

  • 若定義了,則[3]

範疇論定義

廣群是小範疇,其中每個態射都可逆,即是同構[1]更明確地說,廣群G是對象集合,其中

  • 每對對象xy,都有從xy的態射(或箭頭)的(可能是空)集合,其中的元素寫作
  • 每個對象x的指定元素
  • 對任意三個元素xyz都有函數
  • 對任意兩個元素xy都有函數

則稱xf,記作y稱作f目標,記作。廣群G有時記作,當中是所有態射的集合,兩個箭頭代表源和目標。

更一般地,可以考慮任意範疇中的廣群對象,其允許有限的纖維積。

定義比較

代數定義與範疇論定義等價,下面證明。給定範疇論定義廣群,令G為所有集合不交並(即xy的態射的集合);則就成了G上的偏運算,而事實上在任意地方都可被定義。我們定義*為−1,這樣就得到了代數定義的廣群。可以不再明確提及(及)。

反過來,給定代數定義的廣群G,用定義其元素上的等價關係: ,若G0的等價類集合,即。若,用aa−1

現在定義為所有使存在的f的集合。給定其組合定義為這是良定義的,因為可觀察到都存在,也存在。這樣,x的恆等態射就是f的範疇論逆是f−1

上述定義中的集合可用代替,這在範疇論中很常見。

頂點群與軌道

給定廣群G,其中的頂點群迷向群軌道群的子群。從上述公理不難看出,它們確實是群,因為每對元素都可組合,且逆元都在同一個群中。

廣群G在點處的軌道由集合給出,當中包含了可用G中的態射連接到x的每個點。若xy兩點在相同的軌道上,則它們的頂點群G(x)G(y)群同構:若,則同構由給出。

軌道構成了集合X的一部分。若廣群只有一個軌道(等價地是連通的),則稱之為傳遞的。那麼,所有頂點群都同構(另一方面,這不是傳遞性的充分條件,反例下詳)。

子廣群與態射

子廣群子範疇,其本身是一個廣群。若它是寬或滿的子範疇,即都有,則也稱其為滿

廣群映射簡單說就是兩個(範疇論)廣群間的函子。

有幾種特殊的廣群態射值得關注。若都有,使得,則廣群的態射稱作纖維化。若這樣的e是唯一的,則纖維化稱作覆蓋態射廣群的覆蓋。廣群的覆蓋態射很有用,可用來模擬空間的覆蓋映射[4] 同樣,給點廣群B的覆蓋態射範疇,等同於廣群B對對集合的作用範疇。

例子

拓撲

給定拓撲空間X,令為集合X。從點p到點q的態射是pq連續路徑等價類,若兩條路徑同倫,就稱它們等價。 先沿第一條路徑,再沿第二條路徑,兩個這樣的態射便組合到一起;同倫等價性保證這種組符合結合律。這樣的廣群稱作X基本廣群,記作(有時是)。[5]通常的基本群於是就是點x的頂點群。

基本廣群的軌道是X的路徑連通成分。相應地,路徑連通空間的基本廣群是傳遞的,我們恢復了已知的事實,即任意基點上的基本群是同構的。此外,基本廣群和基本群這時作為範疇是等價的(一般理論見下文)。

這一思想的重要推廣是考慮基本廣群,其中是選定的基點集合。當中的(寬)子廣群,這裡只考慮端點屬於A的路徑。集合A可據當前情況的幾何形狀來選擇。

等價關係

X集合體,即具有等價關係的集合,則「表示」這等價關係的廣群可由如下構成:

  • 廣群對象是X的元素;
  • 有單態射,若且唯若
  • 的組合是

這個廣群的頂點群總是平凡的;此外,這個廣群一般不傳遞,其軌道正是等價類。有兩個極端例子:

  • X每個元素若都與X的其他元素有聯繫,則就得到了X對廣群,其以整個作為箭頭集,且是傳遞的。
  • X每個元素若只與自身有關係,就得到了單位廣群,其以X為箭頭集,,是完全不傳遞的(每個單子都是軌道)。

例子

  • 光滑流形的光滑滿射浸沒,則是等價關係[6],因為在拓撲空間的滿射下,Y商拓撲拓撲同構。若記則可得廣群

    有時稱為光滑流形的滿射浸沒的平庸廣群
  • 若放寬自反性要求、考慮偏等價關係,則就可考慮關於集合的可計算實現子上的半可決定概念。這使得廣群可用於集合論的可計算近似,稱作PER模型。作為一個範疇,PER模型是具有自然數對象與子對象分類子的笛卡兒閉範疇,從而產生了馬丁·海蘭德所謂有效拓撲斯

切赫廣群

切赫廣群[6]:5是一類特殊的廣群,與某個流形X的開覆蓋所給出的等價關係相關聯。其對象由不交並

給出,其箭頭是相交

.

源映射與目標映射由誘導映射給出

包含映射

則給出了廣群的結構。實際上,還可設置

n次迭代的纖維積來進一步擴展,其中表示n個可組合箭頭的多元組。纖維積的結構映射隱含了目標映射,因為

是笛卡兒圖,其中到的映射是目標映射。這種構造可看作是某些∞-廣群的模型;此外,這種構造的另一個產物是k-上循環

對某個阿貝爾群之常數可表為函數

給出了上同調類的明確表示。

群作用

G作用於集合X,則可由如下方式組成代表群作用作用廣群變換廣群

  • 對象是X的元素;
  • 態射對應,使得
  • 態射的複合解釋了G二元運算

更明確地說,作用廣群是小範疇,源映射和目標映射分別為。通常表示為(對於右作用記為)。廣群中的乘法(或組合)就是,定義條件是

,頂點群由組成,這只是給定作用在x處的迷向子群(這就是頂點群稱為迷向子群的原因)。同樣,作用廣群的軌道是群作用的軌道,廣群是傳遞的若且唯若群作用也有傳遞性

另一種描述G集合的方法是函子範疇,當中是1個元素的廣群(範疇),同構於群G。事實上,這個範疇的每個函子F都定義了集合(即對中的每個態射)誘導了雙射。函子F的範疇結構保證了F定義了集合G上的G作用。(唯一)可表函子FG凱萊表示。事實上,這個函子與同構,因此將送到集合,後者的定義就是「集合」G的態射g(即G的元素g)到集合G的置換。由米田嵌入推導出:群G同構於G置換群子群

有限集

考慮在有限集上的群作用,其將每個數取負,於是。商廣群是這個群作用的等價類集合在其上有群作用

商簇

任何映射到的有限群G都會在仿射空間上產生群作用(由於這是自同構群)。於是,商廣群的形式可以是,有一點的穩定子G位於原點。這樣的例子構成了軌形理論的基礎。另一個常研究的軌形族是加權射影空間及其子空間,如卡拉比-丘軌形

廣群的纖維積

給定具有廣群態射的廣群圖

其中,可組成廣群,其對象為三元組,其中。態射可定義為一對態射,其中,使得對三元組中有的交換圖。[7]

同調代數

具體阿貝爾範疇中對象的二項復形

可形成廣群。其對象是集合,箭頭是集合;源映射只是到的映射,目標映射是對d的組合跟到的映射的加法。也就是說,給定,有

當然,若阿貝爾範疇是概形上的凝聚層範疇,則這種構造可用於形成廣群的預層

遊戲

魔方可用群論來建模(見魔方群),也有些遊戲更適合用廣群建模。[8]

數字推盤遊戲的變換就是廣群(不是群,因為並非所有移動都能複合)。[9][10][11]這一廣群作用作用於構型。

馬蒂厄廣群

馬蒂厄廣群約翰·何頓·康威提出的作用於13個點的群,這樣固定一個點的元素就構成了馬蒂厄群M12的一個副本。

與群的關係

類似群的結構
完全性 結合律 單位元 除法
么半群
半群
環群
擬群
原群
廣群
範疇

若廣群只有一個對象,則其態射集構成。由代數定義,這樣的廣群實際上就是群。 [12]群論的許多概念都能推廣到廣群,用函子概念取代群同態

每個傳遞/連通的廣群(即如上所述,任意兩對象都由至少一個態射相連)都與作用廣群(如上定義)同構。根據傳遞性,這個作用下只有一個軌道

注意剛才提到的同構不唯一,也沒有自然的選擇。為一個傳遞廣群選擇這樣的同構實際上等於選擇對象群同構態射

若廣群沒有傳遞性,則就同構於上述類型的廣群的不交並,也稱作其連通成分(每個連通成分可能具有不同的群G與集合X)。

用範疇論的術語來說,廣群的每個連通成分都等價(但不同構)於只有1個對象的廣群,即單群。因此,任何廣群都等價於無關群的多重集;換句話說,對等價(而非同構),我們不需要指定集合X,而只需指定群G。例如,

  • X的基本廣群等價於X的每個路徑連通成分的基本群的集合,但同構要指定每個成分的點集;
  • 具有等價關係的集合X等價(作為廣群)於每個等價類平凡群的一個副本,但同構需要說明每個等價類;
  • 具備群G作用的集合X等價(作為廣群)於作用的每個軌道的G的一個副本,但同構需要說明每個軌道是什麼集合。

即使從範疇論的角度來看,把廣群坍縮為單純的群集合也會失去一些信息,因為是不自然的。因此,當廣群以其他結構出現時,保持整個廣群是有幫助的;否則就必須選擇一種方法,以從單群的角度看待每個,而這一選擇是任意的。在拓撲學的例子中,必須連貫地選擇路徑(或路徑的等價類),從相同路徑連通成分的每個p點到每個q點。

一個更有啟發性的例子是,有自同態的廣群的分類並不能歸結為單純的群論考慮。這類似於有一個自同態的向量空間的分類並不平凡。

廣群的態射比群的更多樣:例如,有纖維化、覆蓋態射、泛態射、商態射。因此,群G的子群H會產生『』GGH陪集集的作用,從而產生KG的覆蓋態射p,其中K是頂點群與H同構的廣群。這樣,群G的表示就可以「提升」到廣群K的表示,這是獲取子群H的表現信息的有用方法。

廣群範疇

對象是廣群、態射是廣群態射的範疇稱作廣群範疇,記作Grpd

Grpd與小範疇相似,是笛卡兒閉範疇:對任意廣群,我們都可以構造廣群,其對象是態射、箭頭是態射的自然等價。於是,若只是群,則這些箭頭就是態射的共軛。主要結果是,對任何廣群都有自然雙射

即使所有廣群都只是群,這個結果也有意義。

Grpd既是完全範疇,又是余完全範疇。

Cat的關係

包含態射有左右伴隨函子

當中,表示反轉每個態射的範疇局部化,表示所有同構的子範疇。

sSet的關係

神經函子Grpd嵌入為單純集範疇的子範疇。廣群的神經總是闞復形

神經有左伴隨

當中表示單純集X的基本廣群。

Grpd中的廣群

廣群範疇內部的範疇還可派生一種額外結構,即雙重廣群[13][14]因為Grpd是2範疇,這些對象構成了2範疇,比1範疇有額外的結構。本質上說,這些對象是具有函子

的廣群,以及由恆等函子

給出的嵌入。思考這些2廣群的一種方法是其包含對象、態射與可以縱橫組合的方塊。例如,給定方塊

其中是同一個態射,則可以垂直相連,得到圖

可將垂直箭頭轉置,得到另一個方塊。方塊的橫向連接也有類似規律。

具有幾何結構的廣群

研究幾何對象時,產生的廣群通常帶有拓撲,使其成為拓撲廣群;一些微分結構還能將其變為李廣群。最後這些對象也可根據其相關的李代數胚進行研究,這與李群李代數之間的關係類似。

從幾何產生的廣群通常具有與群乘法相互作用的結構。例如,泊松幾何中有辛廣群的概念,後者是具有相容辛形式的李廣群。同樣,也可擁有具備相容黎曼度量複流形等結構的廣群。

另見

腳註

  1. ^ 1.0 1.1 Dicks & Ventura. The Group Fixed by a Family of Injective Endomorphisms of a Free Group. 1996: 6. 
  2. ^ Hazewinkel, Michiel (編), Brandt semi-group, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4 
  3. ^ 第一個性質的證明:由公理2、3,可知將1式代入2式,再應用公理3:得證。 第二個性質的證明:由於定義了,於是是因此也定義了。進一步地,由於定義了,有也定義了。由公理3可知得證。
  4. ^ J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press ISBN 0-226-51183-9 (see chapter 2)
  5. ^ fundamental groupoid in nLab. ncatlab.org. [2017-09-17]. (原始內容存檔於2023-04-06). 
  6. ^ 6.0 6.1 Block, Jonathan; Daenzer, Calder. Mukai duality for gerbes with connection. 2009-01-09. arXiv:0803.1529可免費查閱 [math.QA]. 
  7. ^ Localization and Gromov-Witten Invariants (PDF): 9. (原始內容存檔 (PDF)於2020-02-12). 
  8. ^ An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction頁面存檔備份,存於網際網路檔案館); Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.
  9. ^ Jim Belk (2008) Puzzles, Groups, and Groupoids頁面存檔備份,存於網際網路檔案館), The Everything Seminar
  10. ^ The 15-puzzle groupoid (1) 網際網路檔案館存檔,存檔日期2015-12-25., Never Ending Books
  11. ^ The 15-puzzle groupoid (2) 網際網路檔案館存檔,存檔日期2015-12-25., Never Ending Books
  12. ^ Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see delooping in nLab. ncatlab.org. [2017-10-31]. (原始內容存檔於2023-04-05). .
  13. ^ Cegarra, Antonio M.; Heredia, Benjamín A.; Remedios, Josué. Double groupoids and homotopy 2-types. 2010-03-19. arXiv:1003.3820可免費查閱 [math.AT]. 
  14. ^ Ehresmann, Charles. Catégories et structures : extraits. Séminaire Ehresmann. Topologie et géométrie différentielle. 1964, 6: 1–31 [2023-11-29]. (原始內容存檔於2023-06-04) (英語). 

參考文獻