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拉开

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数学中,拉开(法文:éclatement,英文:blowing up)、单项变换σ-过程是一种几何的操作,代数几何中的应用尤重。拉开是双有理几何的基本工具。对代数簇复流形 上一点 的拉开是将该点换为该点法丛射影丛,或者具体地说是换为该点切空间的射影空间,从而得到拉开态射 ,这是一个双有理等价。对较高维子流形也能定义拉开。

当代代数几何学将拉开视为对概形的内在操作,然而拉开也有外在的描述法,例如取一平面曲线,并对它所处的射影平面作某类变换;这是古典的进路,其想法至今仍反映于用语上。

对仿射空间中一点作拉开

以下仅考虑复数 上的情形,一般构造准此可知。

为复仿射空间 的原点,仿射空间的元素以坐标表为 。令 -维复射影空间,其元素以齐次坐标表示为 。 令 中由等式 定义之闭子集,其中 。则投影态射

自然地导出态射(特别也是全纯函数

此态射 (或者更常指空间 )称为 拉开

例外除数 定义为 对态射 的逆像。可以证明

同构于射影空间。它是个非负除数,而且在 之外 是同构。因此 之同构。

对复流形的子流形作拉开

一般来说,我们可以开任何馀维为 的复子流形 。设 由方程式 定义,并设 上的齐次坐标。沿 的拉开 定义为方程 (对所有 )在空间 中定义的闭子集。

进一步推广,我们可拉开任何复流形 的任一复子流形 ,方式是局部上化约到上述情形,拉开后再予以黏合。效果依然,我们将 拉开为例外除子 。而拉开态射

依然是双有理的,并在 外是同构。 可自然地视作 法丛的射影化,因此 局部上是纤维化映射,其纤维为

由于 是平滑除子,其法丛为线丛。对于曲面的情形,可证明 的自相交数为负,这表明其法丛没有整体上定义的截面。 是其同调类在 上的唯一代表,原因在于:假设 经扰动后变为代表同一同调类的另一个复子流形,则它和 的相交数必为正,故矛盾。这是例外除子之所以“例外”之故。

维某个 中不等于 的复子流形。若 不交 ,则它本质上不受沿 的拉开影响。然而若有相交,则 中导出两个几何对象:一者是真变换或称严格变换,它是 中的闭包,其法丛一般与 的不同。另一者是全变换,包含 的全体或一部分,其同调类基本上是 上同调类之拉回。

推广:概形的拉开

拉开可以在一般的概形上定义。令 为一概形,并设 为其上一凝聚理想层, 沿 的拉开是概形 真态射

使得 可逆层,此拉开由下述泛性质刻划:

对任何态射 ,若它使得 是可逆层,则 唯一地透过 分解。

此拉开可具体地由

构造。当 拟射影概形时, 将是射影态射

重要性质

与有理映射的关系

与奇点解消的关系

曲面的拉开

在平滑的射影曲面上,任何双有理等价皆可分解为一系列的拉开与缩回。

以下的 Grauert-Mumford 定理是曲面分类中的基本工具:

定理 . 设 为平滑射影曲面, 上一个既约除数,若其相交矩阵 负定,则 可表成某个代数曲面的拉开,使得 为其例外除数。

相交理论

相关的建构

向法锥变形

向法锥变形的技术可以证明代数几何中的许多结果。给定一个概形 及其闭子概形 ,我们在 中拉开 ,则

是纤维化映射。沿著 的一般纤维自然同构于 ,而中心纤维则是两个概形的并集:一者是 沿 的拉开;另一者则是 的法锥,其中我们将纤维紧化为射影空间。

辛流形的拉开

拉开也可以在辛流形范畴中施行,称作辛拉开。方式是将辛流形赋予殆复结构,然后仿照复拉开的模式。然而这仅在拓扑层次上有意义,我们必须小心地为拉开后的空间赋予一个辛形式,因为我们不能任意将辛形式沿例外除数 延拓,而必须在 的一个邻域上修改之;或藉著将 的一个开邻域切下,然后适当地折叠边界以完成拉开。较好的理解方式是利用辛切割的一般理论,其中辛拉开只是个特例。辛切割及其逆操作辛和是沿一平滑除数向法锥变形的类比。

文献