柯西函数方程是以下的函数方程:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a68faf6221e37dcb19a7ce560e909c9e9a96000)
此方程的解被称为加性函数。
方程的解
在有理数的范围中,可以用简单的代数得到唯一一类的解,表示为
,其中
任意给定的有理数。
在实数中,这个方程仍然有这一类解,然而存在著其他非常复杂的解,函数 f 经常被外加条件以排除那些复杂的解。例如:
- 若 f 是连续的 (由柯西于1821年证明)。这个条件在1875年被达布弱化,证明 f 只需要在一点连续。
- 若 f 在任一个区间上是单调的
- 若 f 在任一个区间上是有界的
另一方面,如果函数 f 没有其他限制条件,那么满足方程的函数有无穷多个(假设选择公理成立)。这在1905年由乔治·哈梅尔使用基的概念证明。
希尔伯特的第五个问题是这个方程的推广。
存在实数
使得
的解称为柯西─哈默方程(英语:Cauchy-Hamel function(s))。在希尔伯特的第三个问题中,往高维度的推广所用的德恩-哈德维格不变量(英语:Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]
在有理数集下的证明
先设
,得到:
![{\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b7fa7425e1bd0258cd1a3c375d6ffe78d7e4ee)
![{\displaystyle f(0)=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24242fa63ea8bbdc9271d2884fc44b15fa43e607)
再设
:
![{\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd16241d35a3d1ebe21cb7e8c867df465941126)
![{\displaystyle f(-x)=-f(x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89370dcea1bb758b2cdd93821d495e5cd8d12efa)
反复设
、
、...、
,可以得到
...(1)
设
并代入(1)式得到:
![{\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6263d0bb99f72cd5c4283d6c24f82befa0e03bb)
- 或者
...(2)
对于任意有理数
,设
,根据(1)、(2)两式可知:
![{\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667a59608bd8cd013141d2ea3b7f1d6c5fd4422f)
上式又可改写为
![{\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f4f93d4293bc2f6dc3a5dec74a9838820d1275)
令
就可以得到在有理数下的唯一解。
其他解的性质
以下的证明将显示(若存在)线性函数以外的解,该解是相当病态的函数。我们将证明这个函数f所对应的图形
在
中稠密,亦即在平面上任何给定的圆都至少包含该图形的一个点,我们将从这个定义著手证明。
不失一般性,假设解f满足
,且能找到实数
满足
,同时设
任意给定一个圆,其内部必能找到一个小圆以点
为圆心,其中满足
。令实数
为半径的
倍,即半径为
。
令
,存在一个有理数
满足:
![{\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1fdfbcc0917095fe3f901bf2eea81ac507c765)
类似地,存在一个有理数
使得:
![{\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e361f991065cbc7c202532e345095e48b5a2886)
设实数X,Y满足:
![{\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3400abdb85bb4048a3e0ce2c940c65a68c31361a)
![{\displaystyle Y=f(X)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b8cf517fa146aafd8a88088166800d8ffc81e6)
从原方程和以上的关系式可以得知:
![{\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f091ab7e8367cd06eb40420322510a3b250d5e8)
![{\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb28386ea626930682424ed66d3d607bc4ef9838)
![{\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2065ba3edc1f529ce901e886c0c67d80a0d53874)
![{\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b263aa3f4a467c7cd6834a4555c1e119d8174d9)
由以上关系式可知
∴
在指定的小圆内,
于是
在原本较大的圆内;
即在
中任意给定的圆内皆包含
图形的一点;
即
的图形在
中稠密,得证。
另一方法:如f 不是线性函数,存在
在
独立。任取
,
,
和
是有理数序列的极限,
是f 的图形的聚点。
其他解的形式与证明
与有理数的情形使用相同的方式,可以证明线性解的证明在任意的集合
上也成立,其中
(表示所有有理数乘上
的积的集合,以下亦同)
我们可以透过这点找出函数方程的所有解。但这个方式极度地不可构造,而且是以选择公理为基础得到的。
在承认选择公理的前提下,在
上存在一个
的基底,也就是这样的集合:
,使得对于任何实数
,存在唯一的有限集合
以及唯一对应的
个有理数
,满足:
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e85978b828291c73e55340fdc7c9233229fb492)
设想函数方程在实数集的子集
上成立,即满足
,其中
是
的有理数倍。
运用前面推导的结论,得到对任意实数满足方程的函数:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158e15ea651a0bd4c62c4a6cd875c865787b7d8f)
对于所有
,以上
是函数方程的解。其中
为线性的充要条件是
是常数函数。
参考资料
- ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington
外部链接