柯西函數方程是以下的函數方程:
![{\displaystyle f(x+y)=f(x)+f(y)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4a68faf6221e37dcb19a7ce560e909c9e9a96000)
此方程的解被稱為加性函數。
方程的解
在有理數的範圍中,可以用簡單的代數得到唯一一類的解,表示為
,其中
任意給定的有理數。
在實數中,這個方程仍然有這一類解,然而存在著其他非常複雜的解,函數 f 經常被外加條件以排除那些複雜的解。例如:
- 若 f 是連續的 (由柯西於1821年證明)。這個條件在1875年被達布弱化,證明 f 只需要在一點連續。
- 若 f 在任一個區間上是單調的
- 若 f 在任一個區間上是有界的
另一方面,如果函數 f 沒有其他限制條件,那麼滿足方程的函數有無窮多個(假設選擇公理成立)。這在1905年由喬治·哈梅爾使用基的概念證明。
希爾伯特的第五個問題是這個方程的推廣。
存在實數
使得
的解稱為柯西─哈默方程(英語:Cauchy-Hamel function(s))。在希爾伯特的第三個問題中,往高維度的推廣所用的德恩-哈德維格不變量(英語:Dehn-Hadwiger invariant(s)),其中就用到柯西-哈默方程。[1]
在有理數集下的證明
先設
,得到:
![{\displaystyle f(x+0)=f(x)+f(0)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/79b7fa7425e1bd0258cd1a3c375d6ffe78d7e4ee)
![{\displaystyle f(0)=0\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24242fa63ea8bbdc9271d2884fc44b15fa43e607)
再設
:
![{\displaystyle f(x-x)=f(x)+f(-x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1bd16241d35a3d1ebe21cb7e8c867df465941126)
![{\displaystyle f(-x)=-f(x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/89370dcea1bb758b2cdd93821d495e5cd8d12efa)
反覆設
、
、...、
,可以得到
...(1)
設
並代入(1)式得到:
![{\displaystyle f\left({\frac {y}{n}}\right)={\frac {1}{n}}f(y)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c6263d0bb99f72cd5c4283d6c24f82befa0e03bb)
- 或者
...(2)
對於任意有理數
,設
,根據(1)、(2)兩式可知:
![{\displaystyle f\left({\frac {m}{n}}x\right)={\frac {m}{n}}f(x)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/667a59608bd8cd013141d2ea3b7f1d6c5fd4422f)
上式又可改寫為
![{\displaystyle f\left(\alpha q\right)=qf(\alpha )\qquad \forall q\in \mathbb {Q} ,\alpha \in \mathbb {R} \ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/46f4f93d4293bc2f6dc3a5dec74a9838820d1275)
令
就可以得到在有理數下的唯一解。
其他解的性質
以下的證明將顯示(若存在)線性函數以外的解,該解是相當病態的函數。我們將證明這個函數f所對應的圖形
在
中稠密,亦即在平面上任何給定的圓都至少包含該圖形的一個點,我們將從這個定義著手證明。
不失一般性,假設解f滿足
,且能找到實數
滿足
,同時設
任意給定一個圓,其內部必能找到一個小圓以點
為圓心,其中滿足
。令實數
為半徑的
倍,即半徑為
。
令
,存在一個有理數
滿足:
![{\displaystyle \left|\beta -b\right|<{\frac {r}{2\left|\delta \right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1b1fdfbcc0917095fe3f901bf2eea81ac507c765)
類似地,存在一個有理數
使得:
![{\displaystyle \left|\alpha -a\right|<{\frac {r}{2\left|b\right|}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6e361f991065cbc7c202532e345095e48b5a2886)
設實數X,Y滿足:
![{\displaystyle X=x+b(\alpha -a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3400abdb85bb4048a3e0ce2c940c65a68c31361a)
![{\displaystyle Y=f(X)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c1b8cf517fa146aafd8a88088166800d8ffc81e6)
從原方程和以上的關係式可以得知:
![{\displaystyle =f(x)+f(b\alpha )-f(ba)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2f091ab7e8367cd06eb40420322510a3b250d5e8)
![{\displaystyle =x+bf(\alpha )-bf(a)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bb28386ea626930682424ed66d3d607bc4ef9838)
![{\displaystyle =(y-\delta \beta )+b(\alpha +\delta )-ba\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2065ba3edc1f529ce901e886c0c67d80a0d53874)
![{\displaystyle =y+b(\alpha -a)-\delta (\beta -b)\ }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b263aa3f4a467c7cd6834a4555c1e119d8174d9)
由以上關係式可知
∴
在指定的小圓內,
於是
在原本較大的圓內;
即在
中任意給定的圓內皆包含
圖形的一點;
即
的圖形在
中稠密,得證。
另一方法:如f 不是線性函數,存在
在
獨立。任取
,
,
和
是有理數序列的極限,
是f 的圖形的聚點。
其他解的形式與證明
與有理數的情形使用相同的方式,可以證明線性解的證明在任意的集合
上也成立,其中
(表示所有有理數乘上
的積的集合,以下亦同)
我們可以透過這點找出函數方程的所有解。但這個方式極度地不可構造,而且是以選擇公理為基礎得到的。
在承認選擇公理的前提下,在
上存在一個
的基底,也就是這樣的集合:
,使得對於任何實數
,存在唯一的有限集合
以及唯一對應的
個有理數
,滿足:
![{\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}{\lambda _{i}a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e85978b828291c73e55340fdc7c9233229fb492)
設想函數方程在實數集的子集
上成立,即滿足
,其中
是
的有理數倍。
運用前面推導的結論,得到對任意實數滿足方程的函數:
![{\displaystyle f(x)=\sum _{i=1}^{n}{g(a_{i})\lambda _{i}a_{i}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/158e15ea651a0bd4c62c4a6cd875c865787b7d8f)
對於所有
,以上
是函數方程的解。其中
為線性的充要條件是
是常數函數。
參考資料
- ^ V.G. Boltianskii (1978) "Hilbert's third problem", Halsted Press, Washington
外部連結