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角动量算符

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量子力学里,角动量算符(英语:angular momentum operator)是一种算符,类比于经典的角动量。在原子物理学涉及旋转对称性rotational symmetry)的理论里,角动量算符占有中心的角色。角动量,动量,与能量是物体运动的三个基本特性[1]

简介

角动量促使在旋转方面的运动得以数量化。在孤立系统里,如同能量和动量,角动量是守恒的。在量子力学里,角动量算符的概念是必要的,因为角动量的计算实现于描述量子系统的波函数,而不是经典地实现于一点或一刚体。在量子尺寸世界,分析的对象都是以波函数或量子幅来描述其机率性行为,而不是命定性(deterministic)行为。

数学定义

经典力学里,角动量 定义为位置 与动量 叉积

在量子力学里,对应的角动量算符 定义为位置算符 动量算符 的叉积:

由于动量算符的形式为

角动量算符的形式为

其中,梯度算符。

角动量是厄米算符

在量子力学里,每一个可观察量所对应的算符都是厄米算符。角动量是一个可观察量,所以,角动量算符应该也是厄米算符。让我们现在证明这一点,思考角动量算符的 x-分量

伴随算符

由于 ,都是厄米算符,

由于 之间、 之间分别相互对易,所以,

因此, 是一个厄米算符。类似地, 都是厄米算符。总结,角动量算符是厄米算符。

再思考 算符,

伴随算符

由于 算符、 算符、 算符,都是厄米算符,

所以, 算符是厄米算符。

对易关系

两个算符 交换算符 ,表示出它们之间的对易关系

角动量算符与自己的对易关系

思考 交换算符

由于两者的对易关系不等于 0 , 彼此是不相容可观察量 绝对不会有共同的基底量子态。一般而言,本征态 的本征态不同。

给予一个量子系统,量子态为 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合 。对于可观察量算符 ,所有本征值为 的本征态 ,形成了另外一组基底量子态。量子态 可以表达为这基底量子态的线性组合:

根据哥本哈根诠释量子测量可以用量子态塌缩机制来诠释。假若,我们测量可观察量 ,得到的测量值为其本征值 ,则量子态机率塌缩为本征态 。假若,我们立刻再测量可观察量 ,得到的答案必定是 ,量子态仍旧处于 。可是,假若,我们改为测量可观察量 ,则量子态不会停留于本征态 ,而会塌缩为 的本征态。假若,得到的测量值为其本征值 ,则量子态机率塌缩为本征态

根据不确定性原理

的不确定性与 的不确定性的乘积 ,必定大于或等于

之间, 之间,也有类似的特性。

角动量平方算符与角动量算符之间的对易关系

思考 的交换算符,

对易的 彼此是相容可观察量,两个算符有共同的本征态。根据不确定性原理,我们可以同时地测量到 的本征值。

类似地,

之间、 之间,都分别拥有类似的物理特性。

在经典力学里的对易关系

在经典力学里,角动量算符也遵守类似的对易关系:

其中,帕松括号列维-奇维塔符号 ,代表直角坐标

本征值与本征函数

采用球坐标。展开角动量算符的方程式:

其中, ,分别为径向单位向量、天顶角单位向量、与方位角单位向量。

转换回直角坐标

其中, ,分别为 x-单位向量、y-单位向量、与 z-单位向量。

所以, 分别是

角动量平方算符是

其中,

经过一番繁杂的运算,终于得到想要的方程式[2]:169

满足算符 本征函数球谐函数

其中,本征值 是正整数。

球谐函数也是满足算符 微分方程式的本征函数:

其中,本征值 是整数,

因为这两个算符的正则对易关系是 0 ,它们可以有共同的本征函数。

球谐函数 表达为

其中,虚数单位伴随勒让德多项式,用方程式定义为

勒让德多项式,可用罗德里格公式表示为:

球谐函数满足正交归一性

这样,角动量算符的本征函数,形成一组单范正交基。任意波函数 都可以表达为这单范正交基的线性组合

其中,

参阅

参考文献

  1. ^ Introductory Quantum Mechanics, Richard L. Liboff, 2nd Edition, ISBN 0201547155
  2. ^ Griffiths, David J., Introduction to Quantum Mechanics (2nd ed.), Prentice Hall, 2004, ISBN 0-13-111892-7 

外部链接

  • 圣地牙哥加州大学物理系量子力学视听教学:角动量加法