高斯引理 (多项式)

  关于数论的“高斯引理”，请见“高斯引理”。

在代数学中 ，高斯引理以高斯命名，是关于整系数多项式的命题，或者更一般地说，是关于一个唯一分解整环的叙述。

高斯的引理断言两个本原多项式的乘积仍是本原多项式（本原多项式是指：系数的最大公因数为1的整系数多项式）。

高斯引理有一个推论，有时也被称为高斯引理。其断定一个本原多项式在整数上是不可约的 ，若且唯若它在有理数上是不可约的。

整系数多项式版本

当一个整系数多项式 $f(x)=a_{n}x^{n}+\dots +a_{1}x+a_{0}$的系数的最大公因数是1，我们称其为本原多项式。那么有以下高斯引理：

高斯引理 (本原版本). 两个本原多项式的乘积仍是本原多项式。

证明：

以下以反证法证明。

设整系数多项式$f(x)=a_{0}+a_{1}x+\cdots +a_{s}x^{s},g(x)=b_{0}+b_{1}x+\cdots +b_{t}x^{t}$都是本原的，并反设$h(x):=f(x)g(x)$不是本原多项式。

于是$h(x)$是非本原的整系数多项式，因此可选整除$h(x)$所有系数的质数$p$。

但$f(x),g(x)$皆是本原的，从而可分别选定$i\in \{0,\dots ,s\},j\in \{0,\dots ,t\}$为满足$p\nmid a_{i},p\nmid b_{j}$的最小整数。现在我们知道$h(x)$的$i+j$项系数是

$\sum _{k=0}^{i+j}a_{k}b_{i+j-k}\equiv a_{i}b_{j}\not \equiv 0{\pmod {p}}.$

根据假设，该项系数应该被$p$整除，矛盾，故得证。

高斯引理 (不可约版本). 如果一非常数整系数多项式在有理系数多项式环$\mathbb {Q} [x]$内可约，则他在整系数多项式环$\mathbb {Z} [x]$内也可约。

证明：

设$h(x)$是一在$\mathbb {Q} [x]$内可约的非常数整系数多项式。于是可取两个非常数的有理系数多项式$f_{1}(x),g_{1}(x)$使得$h(x)=f_{1}(x)g_{1}(x)$。

透过适当选取整数$a,b,c,d$，可以假设$\textstyle f_{2}(x):={\frac {a}{c}}f_{1}(x),g_{2}(x):={\frac {b}{d}}g_{1}(x)$皆是本原多项式（当然也就是整系数多项式）。

由上一个引理，$f_{2}(x)g_{2}(x)=\textstyle {\frac {ab}{cd}}h(x)$也是本原多项式。于是$\textstyle {\frac {cd}{ab}}$是$h(x)$的系数的最大公因数，故$\textstyle {\frac {cd}{ab}}$是个整数。

现在，我们有$h(x)=\textstyle {\frac {cd}{ab}}f_{2}(x)g_{2}(x)$且$\textstyle {\frac {cd}{ab}}$是整数，于是也就证明了$h(x)$在$\mathbb {Z} [x]$内也可约。