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GCD环

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GCD环是一种有特殊性质的整环R,满足其中任二个非零的元素都有最大公因数(GCD),或者等价的,都有最小公倍数(LCM)[1]

GCD环是将唯一分解整环推广到非诺特环的情况,事实上,一个整环是唯一分解整环若且惟若其为满足主理想升链条件英语ascending chain condition on principal ideals的GCD环。

性质

GCD环中每个不可约元素都是质元素(不过GCD环中不一定要有不可约元素,其至GCD环可能不是一个)。GCD环是 整数封闭英语integrally closed的,且其中每一个非零的元素都是素性元素英语primal element[2]。换句话说,每个GCD环都是Schreier环英语Schreier domain

针对GCD环R中的每一对元素xy,其最大公因数d及最小公倍数m可以选择为使dm = xy成立的数值,换句话说,若xy为非零元素,而dxy的任何一个最大公因数,则xy/dxy的最小公倍数,反之亦然。

R是GCD环,其多项式环R[X1,...,Xn]也是GCD环[3]

针对一个GCD环中的多项式X,可以定义其内容为所有系数的最大公因数。因此多项式乘积的内容即为其多项式内容的乘积,如同高斯引理叙述的一样。

举例

  • 唯一分解整环是GCD环,唯一分解整环是GCD环中恰好也是原子环(每一个非零非单位元素,至少有一种分解为不可约元素乘积的方式)的部份。
  • Bézout环英语Bézout domain(每个有限生成的理想都是主要理想的整环)是GCD环。Bézout环不同于主要理想环英语Principal ideal domain(每个理想都是主要理想),Bézout环不一定要是唯一分解整环,例如一个整函数的环是非原子性的Bézout环,也有许多其他类似的例子。整环是Prüfer英语Prüfer domain的GCD环的充份必要条件是其为Bézout环[4]
  • R是非原子性的GCD环,则R[X]是GCD环中既不是唯一分解整环(因为非原子性),也不是Bézout环(因为XR一个不能取倒数的非零元素a可以产生一个不包括1的理想,但1是Xa的最大公因数)的例子。任何符合此条件的环R[X1,...,Xn]都有类似性质。

参考资料

  1. ^ Scott T. Chapman, Sarah Glaz (ed.). Non-Noetherian Commutative Ring Theory. Mathematics and Its Applications. Springer. 2000: 479. ISBN 0-7923-6492-9. 
  2. ^ planetmath proof. [2015-08-26]. (原始内容存档于2012-03-15). 
  3. ^ Robert W. Gilmer, Commutative semigroup rings, University of Chicago Press, 1984, p. 172.
  4. ^ Ali, Majid M.; Smith, David J., Generalized GCD rings. II, Beiträge zur Algebra und Geometrie, 2003, 44 (1): 75–98 [2015-08-26], MR 1990985, (原始内容存档于2015-09-24) . P. 84: "It is easy to see that an integral domain is a Prüfer GCD-domain if and only if it is a Bezout domain, and that a Prüfer domain need not be a GCD-domain.".