Powerful p-群
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在数学的群论中,特别在p-群和pro-p-群的研究中,powerful p-群是一个起著重要作用的概念。这个概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的,该文中并给出了几个应用,包括Schur乘子的一些结果。powerful p-群用于p-群的自同构研究(Khukhro 1998),受限制的Burnside问题的解答(Vaughan-Lee 1993),以coclass猜想作出的有限p-群分类(Leedham-Green & McKay 2002),及给出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon 等人 1991)。
正式定义
有限p-群称为powerful,于为奇数时,若交换子子群包含在子群内,而于p=2时若包含在子群内。
powerful p-群的性质
powerful p-群有很多性质与阿贝尔群类似,所以可作为p-群研究的好的基础。每个有限p-群可以表示为一个powerful p-群的section。
powerful p-群也可用于研究pro-p群,因为powerful p-群提供了简单方法去描绘p-进解析群(在p-进数上为流形的群)的特性:一个有限生成pro-p群是p-进解析的,当且仅当这个群包含一个powerful的开正规子群。这是Michel Lazard(1965)一个深刻结果的特例。
一些与阿贝尔p-群相似的性质有:若是powerful p-群,则:
- 的Frattini子群有性质
- 对所有。就是以次幂生成的群,正是次幂的集合。
- 对所有,若,则。
- 对所有,的下中心序列的第k位有性质。
- powerful p-群的每个商群都powerful。
- 的Prüfer秩等于的生成元的最小数目。
一些不太像阿贝尔群的性质有:若是powerful p-群,则
- 是powerful。
- 的子群不一定是powerful。
参考
- Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.
- Dixon, J. D.; du Sautoy, M. P. F.; Mann, A.; Segal, D., Analytic pro-p-groups, Cambridge University Press, 1991, ISBN 0-521-39580-1, MR1152800
- Khukhro, E. I., p-automorphisms of finite p-groups, Cambridge University Press, 1998, ISBN 0-521-59717-X, MR1615819
- Leedham-Green, C. R.; McKay, Susan, The structure of groups of prime power order, London Mathematical Society Monographs. New Series 27, Oxford University Press, 2002, ISBN 978-0-19-853548-5, MR1918951
- Lubotzky, Alexander; Mann, Avinoam, Powerful p-groups. I. Finite Groups, J. Algebra, 1987, 105 (2): 484–505, doi:10.1016/0021-8693(87)90211-0, MR0873681
- Vaughan-Lee, Michael, The restricted Burnside problem 2nd, Oxford University Press, 1993, ISBN 0-19-853786-7, MR1364414