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Powerful p-群

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数学群论中,特别在p-群pro-p-群的研究中,powerful p-群是一个起着重要作用的概念。这个概念是在(Lubotzky & Mann 1987)引入的,该文中并给出了几个应用,包括Schur乘子的一些结果。powerful p-群用于p-群的自同构研究(Khukhro 1998),受限制的Burnside问题的解答(Vaughan-Lee 1993),以coclass猜想作出的有限p-群分类(Leedham-Green & McKay 2002),及给出了很好的方法去理解解析pro-p-群 (Dixon et al. 1991)。

正式定义

有限p-群称为powerful,于为奇数时,若交换子子群包含在子群内,而于p=2时若包含在子群内。

powerful p-群的性质

powerful p-群有很多性质与阿贝尔群类似,所以可作为p-群研究的好的基础。每个有限p-群可以表示为一个powerful p-群的section

powerful p-群也可用于研究pro-p,因为powerful p-群提供了简单方法去描绘p-进解析群(在p-进数上为流形的群)的特性:一个有限生成pro-p群是p-进解析的,当且仅当这个群包含一个powerful的正规子群。这是Michel Lazard(1965)一个深刻结果的特例。

一些与阿贝尔p-群相似的性质有:若是powerful p-群,则:

  • Frattini子群有性质
  • 对所有。就是以次幂生成的群,正是次幂的集合
  • 对所有,若,则
  • 对所有下中心序列的第k位有性质
  • powerful p-群的每个商群都powerful。
  • Prüfer秩等于的生成元的最小数目。

一些不太像阿贝尔群的性质有:若是powerful p-群,则

  • 是powerful。
  • 的子群不一定是powerful。

参考