跳至內容

一致連續

本頁使用了標題或全文手工轉換
維基百科,自由的百科全書

均勻連續又稱一致連續,(英語:uniformly continuous),為數學分析的專有名詞,大致來講是描述對於函數 我們只要在定義域中讓任意兩點 越來越接近,我們就可以讓 無限靠近,這跟一般的連續函數不同之處在於: 之間的距離並不依賴 的位置選擇。 一致連續是比連續更苛刻的條件。一個函數在某度量空間上一致連續,則其在此度量空間上必然連續,但反之未必成立。

正式的 ε-δ 定義

皆是度量空間,我們說函數 一致連續,這代表對任意的 ,存在 ,使得定義域中任意兩點 只要 ,就有

都是實數的子集合, 為絕對值 時,一致連續的定義可表述為:如果對任意的 ,存在 ,使得對任意兩點 ,都有 ,則稱函數 上一致連續。

均勻連續跟在每點連續最大的不同在於:在均勻連續定義中,正數 的選擇只依賴 這變數,而不依賴定義域上點的位置。

一致連續性定理

定理

一個從緊緻度量空間度量空間的連續函數是一致連續的。

證明

設函數為緊緻度量空間,為度量空間。

假設不是一致連續的,則存在一個,對於任意都存在滿足條件並且

因為為緊緻度量空間,是序列緊緻的,所以存在一個的收斂子序列,設其收斂到

,所以

因為連續,,矛盾,定理得證。

一致連續相比於連續是一個更強的結論。一般情況下,連續不意味着一致連續。

相關條目