垂足曲線

垂足曲線

在曲線微分幾何中，踩踏板曲綫是從給定曲綫所創造的曲綫，構造方法像自行車用腳踩踏在原有曲綫上，故稱為踩踏板曲綫，又譯作垂足曲線。給定一個曲線和一個定點P（稱為垂足點或踩踏點(Pedal Point)）。在曲線的任何一條切線T上，都存在唯一的一個點X，要麼是P本身，要麼與P形成的直線與T垂直。垂足曲線是符合這種性質的所有點X所組成的集合。

垂足曲線不一定是連通的，例如對於多邊形來說，它僅僅是一些孤立的點。

如果P是垂足點，c是曲線的一個參數方程，則垂足曲線的參數方程為：

$t\mapsto c(t)+{\langle c'(t),P-c(t)\rangle \over |c'(t)|^{2}}c'(t)$

如果垂足點是原點，則垂足曲線為：

$X[x,y]={\frac {(xy'-yx')y'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

$Y[x,y]={\frac {(yx'-xy')x'}{x'^{2}+y'^{2}}}$

一些例子

橢圓的垂足曲線

給定的曲線	垂足點	垂足曲線
直線	任意	點
圓	圓周上	心臟線
拋物線	焦點	直線
其它圓錐曲線	焦點	圓
對數螺線	極點	相等的對數螺線
外擺線或內擺線	中心	玫瑰線
圓的漸伸線	圓心	阿基米德螺線

參考文獻

• Gray, A. "Pedal Curves." §5.8 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 117-125, 1997.
• Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 46-49 and 204, 1972.
• Lockwood, E. H. "Pedal Curves." Ch. 18 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 152-155, 1967.
• Yates, R. C. "Pedal Curves." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 160-165, 1952.

外部連結

• Mathworld（頁面存檔備份，存於網際網路檔案館）