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垂足曲線

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垂足曲線

曲線微分幾何中,踩踏板曲綫是從給定曲綫所創造的曲綫,構造方法像自行車用腳踩踏在原有曲綫上,故稱為踩踏板曲綫,又譯作垂足曲線。給定一個曲線和一個定點P(稱為垂足點踩踏點(Pedal Point))。在曲線的任何一條切線T上,都存在唯一的一個點X,要麼是P本身,要麼與P形成的直線與T垂直垂足曲線是符合這種性質的所有點X所組成的集合。

垂足曲線不一定是連通的,例如對於多邊形來說,它僅僅是一些孤立的點。

如果P是垂足點,c是曲線的一個參數方程,則垂足曲線的參數方程為:

如果垂足點是原點,則垂足曲線為:



一些例子

橢圓的垂足曲線
給定的曲線垂足點垂足曲線
直線任意
圓周上心臟線
拋物線焦點直線
其它圓錐曲線焦點
對數螺線極點相等的對數螺線
外擺線內擺線中心玫瑰線
圓的漸伸線圓心阿基米德螺線


參考文獻

  • Gray, A. "Pedal Curves." §5.8 in Modern Differential Geometry of Curves and Surfaces with Mathematica, 2nd ed. Boca Raton, FL: CRC Press, pp. 117-125, 1997.
  • Lawrence, J. D. A Catalog of Special Plane Curves. New York: Dover, pp. 46-49 and 204, 1972.
  • Lockwood, E. H. "Pedal Curves." Ch. 18 in A Book of Curves. Cambridge, England: Cambridge University Press, pp. 152-155, 1967.
  • Yates, R. C. "Pedal Curves." A Handbook on Curves and Their Properties. Ann Arbor, MI: J. W. Edwards, pp. 160-165, 1952.

外部連結