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整除規則

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整除數學中兩自然數間一種關係。自然數甲可被自然數乙整除,是指乙是甲的因數,且甲是乙的整數倍數,也就是甲以乙沒有餘數。下面列出了十進制中判斷整數除以另一整數的商為整數,且餘數為零的一些規則。

基本判別

  • 0:所有非0的整數之倍數。
  • ±1:所有整數之因數。

可於最後幾位判別

2和5都是10的因數,在十進制判別是否有的因數只須取其最後k位,除以,可除盡即是

  • ±2:所有偶數(0、2、4、6、8結尾)皆有此因數。如2、−6、989896、11111112、−454
  • ±4:最後兩位數可以被4除盡,即是。如9898989898540→40/4=10
  • ±8:若最後三位數可以被8除盡,即是。如8000、1256000、95872
  • ±5:查看最後一位數。如果可以被5除盡(為0或5),即是。如5454545、45454500、50
  • ±10:看最後一位數為0(即末兩位為10的整倍數)即是。如530、73500、50
  • ±:最後n位數可以被除盡。
  • ±:最後n位數可以被除盡。
  • ±:最後n位數字都全部是0。

上面的性質亦可推廣到求餘數:



甚至非十進制下也是一樣。例如十二進制:2、3、4、6都是12的因數,故某數的末k位除以,所得餘數與原數同餘。

可由各數位判別

  • ±3:所有位數加起來為3的倍數,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/3=27/3=9
  • ±9:所有位數加起來為9的倍數,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/9=27/9=3

注意到我們現在是在十進制運算,而9=10-1。對於任意進制的非負整數除法,當除數是時被除數中所有數字相加的和仍與該被除數同餘。
證明:

  1. 如被除數為零,命題是平凡
  2. 在任何進制,首先考慮僅有最高位數字非零、其餘位均是零的正數,該數可寫成,其中是最高位(第位)數字、,而表示後面有個零。(進制逢進一,次方自然是1後面個零。)
  3. 那麼,除以,前項顯然整除,故,推論得
  4. 而任何進制正整數均可寫成的形式,根據上面的結果,這個和(即是該數本身)顯然與所有數字之和同餘。證畢

  • ±11:將其奇數位之和及偶數位之和相減,如果是0、11等11的倍數,即是。如19866→1+8+6-(9+6)=0
  • ±7,±11,±13:設正整數,所以

若a=75312289,則a=75×1000²+312×1000+289,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7和11整除。[1]

合數判別

若某整數能整除某合數則某整數必同時整除所有某合數的質因數。

  • ±6:同時符合±2(末位是0、2、4、6、8)和±3(相加可除盡)的條件(6=2×3),如66、7986252、99999996
  • ±12:同時符合±4和±3(相加可除盡)的條件(12=×3),如60

連續割頭法

  • ±7:將個位前的數字乘以3再與個位數相加,得出7的倍數即7的倍數。如154→49→21→7
  • ±13:將個位前的數字乘以3再與個位數相減,得出13的倍數即13的倍數。如156→39→0

  • ±23:將十位前的數字乘以15再與末兩位數相減,得出23的倍數即23的倍數。如207→23
  • ±31:將十位前的數字乘以7再與末兩位數相加,得出31的倍數即31的倍數。如155→62
  • ±37:將十位前的數字乘以11再與末兩位數相減,得出37的倍數即37的倍數。如333→0

連續割尾法

,且

  • ±7:將個位數乘以2再與個位前的數字相減,得出7的倍數即7的倍數。如154→7
  • ±19:將個位數乘以2再與個位前的數字相加,得出19的倍數即19的倍數。如152→19

2到31的整除規則總表

整除數 整除規則 示例
2 末位是偶數(0、2、4、6、8)。 1294:末位4是偶數,能被2整除。
3 計算各位之和,其結果能被3整除。 405:4+0+5=9,636:6+3+6=15,兩者都能被3整除。
16兆4992億0585萬4376:1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6=69→6+9=15→1+5=6,能被3整除。
分別統計1、4、7出現總數與2、5、8出現總數,兩者之差能被3整除。 16兆4992億0585萬4376:數字1、4、7出現總數是4,數字2、5、8出現總數是4,4-4=0,能被3整除。
4 末兩位能被4整除。 40832:末兩位32,能被4整除。
十位數為偶數時,個位數為0、4、8。
十位數為奇數時,個位數為2、6。
40832:十位數3是奇數,個位數為2,能被4整除。
十位數乘2加個位數,其結果能被4整除。 40832:2×3+2=8,能被4整除。
5 末位是0、5。 495:末位是5,能被5整除。
6 能同時被2、3整除。 1458:1+4+5+8=18,能被3整除;末位數2是偶數,能被2整除,繼而能被6整除。
7 每三位分組,從右往左每組交替加減,其結果能被7整除。 136萬9851:851-369+1=483,能被7整除。
從右往左每六位為一組,每組相加的結果能被7整除。 1649萬8888:16+498888=498904,能被7整除。
個位數乘2,並從其餘位中減去,其結果能被7整除。 483:48-3×2=42,能被7整除。
個位數乘5,加到其餘位中,其結果能被7整除。 483:48+3×5=63,能被7整除。
最高位乘3,與次高位相加,替換掉頭兩位,其能被7整除。 483:4×3+8=20,將20替換掉48;

203:2×3+0=6,將6替換掉20;63:6×3+3=21,能被7整除。

末兩位加其餘位乘以2,其結果能被7整除。 48萬3595:4835×2+95=9765,97×2+65=259,2×2+59=63,能被7整除。
從末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2(循環),相加的結果能被7整除。 48萬3595:4×(−2)+8×(−3)+3×(−1)+5×2+9×3+5×1=7,能被7整除。
8 百位數是偶數時,末兩位是個能被8整除的數字。 624:百位數6是偶數,末兩位24,能被8整除。
百位數是奇數時,末兩位加4是個能被8整除的數字。 352:百位數3是奇數,末兩位52+4=56,能被8整除。
末位加其餘位乘2,其結果能被8整除。 56:5×2+6=16,能被8整除。
末三位能被8整除。 34152:末三位152能被8整除。
百位乘4加十位乘2加個位,其結果能被8整除。 34152:1×4+5×2+2=16,能被8整除。
9 計算各位之和,其結果能被9整除。 2880:2+8+8+0=18:1+8=9,能被9整除。
10 末位是0。 130:末位是0,能被10整除。
11 從高位到低位交錯加減,其結果能被11整除。 91萬8082:9-1+8-0+8-2=22,能被11整除。
從右往左每兩位為一組,每組相加的結果能被11整除。 627:6+27=33,能被11整除。
50215:5+02+15=22,能被11整除。
末位被其餘位減去,其結果能被11整除。 627:62-7=55,能被11整除。
將個位數加到百位中,其結果能被11整除。 627:62+70=132:13+20=33,能被11整除。
該數為偶數位數時,首位減末位,加到其餘位,其結果能被11整除。 91萬8082(六位數):1808+(9-2)=1815,81+1-5=77,能被11整除。
該數為奇數位數時,首位加末位,從其餘位中減去,其結果能被11整除。 14179(五位數):417-(1+9)=407,0-(4+7)=−11,能被11整除。
12 能同時被3、4整除。 288:能同時被3、4整除,繼而能被12整除。
將末位從其餘位乘2中減去,其結果能被12整除。 288:28×2-8=48,能被12整除。
13 每三位分組,從右往左每組交替加減,其結果能被13整除。 291萬1272:2-911+272=−637,能被13整除。
從右往左每六位為一組,每組相加的結果能被13整除。 1億6148萬0059:161+480059=480220,能被13整除。
末位乘4,加到其餘位中,其結果能被13整除。 637:63+7×4=91,9+1×4=13,能被13整除。
將末兩位從其餘位乘4中減去,其結果能被13整除。 923:9×4-23=13,能被13整除。
末位乘9,從其餘位中減去,其結果能被13整除。 637:63-7×9=0,能被13整除。
14 能同時被2、7整除。 224:能同時被2、7整除,繼而能被14整除。
末兩位與其餘位乘2相加,其結果能被14整除。 364:3×2+64=70
1764:17×2+64=98,兩者都能被14整除。
15 能同時被3、5整除。 390:能同時被3、5整除,繼而能被15整除。
16 千位數是偶數時,末三位能被16整除。 25萬4176:千位數4是偶數,末三位176,能被16整除。
千位數是奇數時,末三位加8能被16整除。 3408:千位數3是奇數,末三位408+8=416,能被16整除。
末兩位與其餘位乘4相加,其結果能被16整除。 176:1×4+76=80,

1168:11×4+68=112,兩者都能被16整除。

末四位能被16整除。 15萬7648:末四位7648能被16整除。
17 末位乘5,從其餘位中減去,其結果能被17整除。 221:22-1×5=17,能被17整除。
將末兩位從其餘位乘2中減去,其結果能被17整除。 4675:46×2-75=17,能被17整除。
從右往左每八位為一組,從右往左每組交替加減,其結果能被17整除。 1億1725萬0581:17250581-1=17250580,能被17整除。
18 能同時被2、9整除。 342:能同時被2、9整除,繼而能被18整除。
19 末位乘2,加到其餘位中,其結果能被19整除。 437:43+7×2=57,能被19整除。
末兩位乘4,加到其餘位中,其結果能被19整除。 6935:69+35×4=209,能被19整除。
從右往左每九位為一組,從右往左每組交替加減,其結果能被19整除。 11億7225萬0581:172250581-1=172250580,能被19整除。
20 末位是0,次末位是偶數。 360:末位是0,次末位6是偶數,能被20整除。
末兩位能被20整除。 480:末兩位80,能被20整除。
21 末位乘2,從其餘位中減去,其結果能被21整除。 168:16-8×2=0,能被21整除。
能同時被3、7整除。 231:能同時被3、7整除,繼而能被21整除。
22 能同時被2、11整除。 352:能同時被2、11整除,繼而能被22整除。
23 末位乘7,加到其餘位中,其結果能被23整除。 3128:312+8×7=368,36+8×7=92,能被23整除。
末兩位乘3,加到其餘位中,其結果能被23整除。 1725:17+25×3=92,能被23整除。
末三位乘2,與其餘位相減,其結果能被23整除。 13萬7931:931×2=1862,1862-137=1725,能被23整除。
24 能同時被3、8整除。 864:能同時被3、8整除,繼而能被24整除。
25 末兩位是能被25整除的數(00、25、50、75) 13萬4250:末兩位50,能被25整除。
26 能同時被2、13整除。 156:能同時被2、13整除,繼而能被26整除。
27 每三位分組,各組相加,其結果能被27整除。 264萬4272:2+644+272=918,能被27整除。
末位乘8,從其餘位中減去,其結果能被27整除。 621:62-1×8=54,能被27整除。
將末兩位從其餘位乘8中減去,其結果能被27整除。 6507:65×8-7=520-7=513,能被27整除。
28 能同時被4、7整除。 140:能同時被4、7整除,繼而能被28整除。
29 末位乘3,加到其餘位中,其結果能被29整除。 493:49+3×3=58,能被29整除。
末兩位乘9,加到其餘位中,其結果能被29整除。 5510:55+10×9=145,能被29整除。
末三位乘2,與其餘位相減,其結果能被29整除。 17萬3913:913×2=1826,1826-173=1653,能被29整除。
30 末位是0,次各位之和能被3整除。 270:能同時被3、10整除,繼而能被30整除。
31 末位乘3,從其餘位中減去,其結果能被31整除。 341:34-1×3=31,能被31整除。

參見

參考資料

  1. ^ 閔嗣鶴 嚴士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52頁. ISBN 978-7-04-011874-2.