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整除规则

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整除数学中两自然数间一种关系。自然数甲可被自然数乙整除,是指乙是甲的因数,且甲是乙的整数倍数,也就是甲以乙没有余数。下面列出了十进制中判断整数除以另一整数的商为整数,且余数为零的一些规则。

基本判别

  • 0:所有非0的整数之倍数。
  • ±1:所有整数之因数。

可于最后几位判别

2和5都是10的因数,在十进制判别是否有的因数只须取其最后k位,除以,可除尽即是

  • ±2:所有偶数(0、2、4、6、8结尾)皆有此因数。如2、−6、989896、11111112、−454
  • ±4:最后两位数可以被4除尽,即是。如9898989898540→40/4=10
  • ±8:若最后三位数可以被8除尽,即是。如8000、1256000、95872
  • ±5:查看最后一位数。如果可以被5除尽(为0或5),即是。如5454545、45454500、50
  • ±10:看最后一位数为0(即末两位为10的整倍数)即是。如530、73500、50
  • ±:最后n位数可以被除尽。
  • ±:最后n位数可以被除尽。
  • ±:最后n位数字都全部是0。

上面的性质亦可推广到求余数:



甚至非十进制下也是一样。例如十二进制:2、3、4、6都是12的因数,故某数的末k位除以,所得余数与原数同余。

可由各数位判别

  • ±3:所有位数加起来为3的倍数,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/3=27/3=9
  • ±9:所有位数加起来为9的倍数,即是。如69255:(6+9+2+5+5)/9=27/9=3

注意到我们现在是在十进制运算,而9=10-1。对于任意进制的非负整数除法,当除数是时被除数中所有数字相加的和仍与该被除数同余。
证明:

  1. 如被除数为零,命题是平凡
  2. 在任何进制,首先考虑仅有最高位数字非零、其余位均是零的正数,该数可写成,其中是最高位(第位)数字、,而表示后面有个零。(进制逢进一,次方自然是1后面个零。)
  3. 那么,除以,前项显然整除,故,推论得
  4. 而任何进制正整数均可写成的形式,根据上面的结果,这个和(即是该数本身)显然与所有数字之和同余。证毕

  • ±11:将其奇数位之和及偶数位之和相减,如果是0、11等11的倍数,即是。如19866→1+8+6-(9+6)=0
  • ±7,±11,±13:设正整数,所以

若a=75312289,则a=75×1000²+312×1000+289,289-312+75=52,a能被13整除,不能被7和11整除。[1]

合数判别

若某整数能整除某合数则某整数必同时整除所有某合数的质因数。

  • ±6:同时符合±2(末位是0、2、4、6、8)和±3(相加可除尽)的条件(6=2×3),如66、7986252、99999996
  • ±12:同时符合±4和±3(相加可除尽)的条件(12=×3),如60

连续割头法

  • ±7:将个位前的数字乘以3再与个位数相加,得出7的倍数即7的倍数。如154→49→21→7
  • ±13:将个位前的数字乘以3再与个位数相减,得出13的倍数即13的倍数。如156→39→0

  • ±23:将十位前的数字乘以15再与末两位数相减,得出23的倍数即23的倍数。如207→23
  • ±31:将十位前的数字乘以7再与末两位数相加,得出31的倍数即31的倍数。如155→62
  • ±37:将十位前的数字乘以11再与末两位数相减,得出37的倍数即37的倍数。如333→0

连续割尾法

,且

  • ±7:将个位数乘以2再与个位前的数字相减,得出7的倍数即7的倍数。如154→7
  • ±19:将个位数乘以2再与个位前的数字相加,得出19的倍数即19的倍数。如152→19

2到31的整除规则总表

整除数 整除规则 示例
2 末位是偶数(0、2、4、6、8)。 1294:末位4是偶数,能被2整除。
3 计算各位之和,其结果能被3整除。 405:4+0+5=9,636:6+3+6=15,两者都能被3整除。
16兆4992亿0585万4376:1+6+4+9+9+2+0+5+8+5+4+3+7+6=69→6+9=15→1+5=6,能被3整除。
分别统计1、4、7出现总数与2、5、8出现总数,两者之差能被3整除。 16兆4992亿0585万4376:数字1、4、7出现总数是4,数字2、5、8出现总数是4,4-4=0,能被3整除。
4 末两位能被4整除。 40832:末两位32,能被4整除。
十位数为偶数时,个位数为0、4、8。
十位数为奇数时,个位数为2、6。
40832:十位数3是奇数,个位数为2,能被4整除。
十位数乘2加个位数,其结果能被4整除。 40832:2×3+2=8,能被4整除。
5 末位是0、5。 495:末位是5,能被5整除。
6 能同时被2、3整除。 1458:1+4+5+8=18,能被3整除;末位数2是偶数,能被2整除,继而能被6整除。
7 每三位分组,从右往左每组交替加减,其结果能被7整除。 136万9851:851-369+1=483,能被7整除。
从右往左每六位为一组,每组相加的结果能被7整除。 1649万8888:16+498888=498904,能被7整除。
个位数乘2,并从其余位中减去,其结果能被7整除。 483:48-3×2=42,能被7整除。
个位数乘5,加到其余位中,其结果能被7整除。 483:48+3×5=63,能被7整除。
最高位乘3,与次高位相加,替换掉头两位,其能被7整除。 483:4×3+8=20,将20替换掉48;

203:2×3+0=6,将6替换掉20;63:6×3+3=21,能被7整除。

末两位加其余位乘以2,其结果能被7整除。 48万3595:4835×2+95=9765,97×2+65=259,2×2+59=63,能被7整除。
从末位起由右至左依次乘1、3、2、−1、−3、−2(循环),相加的结果能被7整除。 48万3595:4×(−2)+8×(−3)+3×(−1)+5×2+9×3+5×1=7,能被7整除。
8 百位数是偶数时,末两位是个能被8整除的数字。 624:百位数6是偶数,末两位24,能被8整除。
百位数是奇数时,末两位加4是个能被8整除的数字。 352:百位数3是奇数,末两位52+4=56,能被8整除。
末位加其余位乘2,其结果能被8整除。 56:5×2+6=16,能被8整除。
末三位能被8整除。 34152:末三位152能被8整除。
百位乘4加十位乘2加个位,其结果能被8整除。 34152:1×4+5×2+2=16,能被8整除。
9 计算各位之和,其结果能被9整除。 2880:2+8+8+0=18:1+8=9,能被9整除。
10 末位是0。 130:末位是0,能被10整除。
11 从高位到低位交错加减,其结果能被11整除。 91万8082:9-1+8-0+8-2=22,能被11整除。
从右往左每两位为一组,每组相加的结果能被11整除。 627:6+27=33,能被11整除。
50215:5+02+15=22,能被11整除。
末位被其余位减去,其结果能被11整除。 627:62-7=55,能被11整除。
将个位数加到百位中,其结果能被11整除。 627:62+70=132:13+20=33,能被11整除。
该数为偶数位数时,首位减末位,加到其余位,其结果能被11整除。 91万8082(六位数):1808+(9-2)=1815,81+1-5=77,能被11整除。
该数为奇数位数时,首位加末位,从其余位中减去,其结果能被11整除。 14179(五位数):417-(1+9)=407,0-(4+7)=−11,能被11整除。
12 能同时被3、4整除。 288:能同时被3、4整除,继而能被12整除。
将末位从其余位乘2中减去,其结果能被12整除。 288:28×2-8=48,能被12整除。
13 每三位分组,从右往左每组交替加减,其结果能被13整除。 291万1272:2-911+272=−637,能被13整除。
从右往左每六位为一组,每组相加的结果能被13整除。 1亿6148万0059:161+480059=480220,能被13整除。
末位乘4,加到其余位中,其结果能被13整除。 637:63+7×4=91,9+1×4=13,能被13整除。
将末两位从其余位乘4中减去,其结果能被13整除。 923:9×4-23=13,能被13整除。
末位乘9,从其余位中减去,其结果能被13整除。 637:63-7×9=0,能被13整除。
14 能同时被2、7整除。 224:能同时被2、7整除,继而能被14整除。
末两位与其余位乘2相加,其结果能被14整除。 364:3×2+64=70
1764:17×2+64=98,两者都能被14整除。
15 能同时被3、5整除。 390:能同时被3、5整除,继而能被15整除。
16 千位数是偶数时,末三位能被16整除。 25万4176:千位数4是偶数,末三位176,能被16整除。
千位数是奇数时,末三位加8能被16整除。 3408:千位数3是奇数,末三位408+8=416,能被16整除。
末两位与其余位乘4相加,其结果能被16整除。 176:1×4+76=80,

1168:11×4+68=112,两者都能被16整除。

末四位能被16整除。 15万7648:末四位7648能被16整除。
17 末位乘5,从其余位中减去,其结果能被17整除。 221:22-1×5=17,能被17整除。
将末两位从其余位乘2中减去,其结果能被17整除。 4675:46×2-75=17,能被17整除。
从右往左每八位为一组,从右往左每组交替加减,其结果能被17整除。 1亿1725万0581:17250581-1=17250580,能被17整除。
18 能同时被2、9整除。 342:能同时被2、9整除,继而能被18整除。
19 末位乘2,加到其余位中,其结果能被19整除。 437:43+7×2=57,能被19整除。
末两位乘4,加到其余位中,其结果能被19整除。 6935:69+35×4=209,能被19整除。
从右往左每九位为一组,从右往左每组交替加减,其结果能被19整除。 11亿7225万0581:172250581-1=172250580,能被19整除。
20 末位是0,次末位是偶数。 360:末位是0,次末位6是偶数,能被20整除。
末两位能被20整除。 480:末两位80,能被20整除。
21 末位乘2,从其余位中减去,其结果能被21整除。 168:16-8×2=0,能被21整除。
能同时被3、7整除。 231:能同时被3、7整除,继而能被21整除。
22 能同时被2、11整除。 352:能同时被2、11整除,继而能被22整除。
23 末位乘7,加到其余位中,其结果能被23整除。 3128:312+8×7=368,36+8×7=92,能被23整除。
末两位乘3,加到其余位中,其结果能被23整除。 1725:17+25×3=92,能被23整除。
末三位乘2,与其余位相减,其结果能被23整除。 13万7931:931×2=1862,1862-137=1725,能被23整除。
24 能同时被3、8整除。 864:能同时被3、8整除,继而能被24整除。
25 末两位是能被25整除的数(00、25、50、75) 13万4250:末两位50,能被25整除。
26 能同时被2、13整除。 156:能同时被2、13整除,继而能被26整除。
27 每三位分组,各组相加,其结果能被27整除。 264万4272:2+644+272=918,能被27整除。
末位乘8,从其余位中减去,其结果能被27整除。 621:62-1×8=54,能被27整除。
将末两位从其余位乘8中减去,其结果能被27整除。 6507:65×8-7=520-7=513,能被27整除。
28 能同时被4、7整除。 140:能同时被4、7整除,继而能被28整除。
29 末位乘3,加到其余位中,其结果能被29整除。 493:49+3×3=58,能被29整除。
末两位乘9,加到其余位中,其结果能被29整除。 5510:55+10×9=145,能被29整除。
末三位乘2,与其余位相减,其结果能被29整除。 17万3913:913×2=1826,1826-173=1653,能被29整除。
30 末位是0,次各位之和能被3整除。 270:能同时被3、10整除,继而能被30整除。
31 末位乘3,从其余位中减去,其结果能被31整除。 341:34-1×3=31,能被31整除。

参见

参考资料

  1. ^ 闵嗣鹤 严士健. 初等数论(第三版). 高等教育出版社. : 第51–52页. ISBN 978-7-04-011874-2.