穆迪圖(Moody chart)是一個流體力學中的無因次圖,表示在一個圓形截面管路中,完全成形(fully developed)的流體,其達西摩擦因子、雷諾數及相對粗糙度之間的關係,可以用來計算在管路中流體的壓降或流率。
說明
穆迪圖,其橫軸和縱軸分別是雷諾數及達西摩擦因子,其中有多條曲線,對應不同相對粗糙度(標示在右側)下的關係
穆迪圖標示了在流體不同雷諾數、不同流動形態(層流或紊流)及不同相對粗糙度下的達西摩擦因子,其中相對粗糙度是以表面粗糙度的平均高度和管路直徑的比值
。
穆迪圖可用來計算管路中的壓降
,單位為Pa(或是水頭損失
,單位為公尺)或是流率。水頭損失(head loss)可以用達西–威斯巴哈方程式計算:
![{\displaystyle {h_{\mathrm {f} }=f{\frac {l}{d}}{\frac {V^{2}}{2\,g}}};}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab11211c6e8e41b2365a807c3acf09cfed0f2427)
而用下式可以計算壓降:
或其直接表示為![{\displaystyle \Delta P=f{\frac {\rho V^{2}}{2}}{\frac {l}{d}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/88631a2096733b29e5a77006fd9c68e230b27c92)
其中
為流體密度
為管路中平均速度
為由穆迪圖中求得的達西摩擦因子
為管路長度
為管路直徑
穆迪圖可分為層流及紊流二種流動形態。層流時達西摩擦因子的解析解由法國科學家讓·路易·馬利·普瓦澤伊所求得,為
,此區域中相對粗糙度對摩擦因子沒有顯著影響。紊流時達西摩擦因子及雷諾數的關係較複雜,可以用包括摩擦因子
的科爾布魯克方程(Colebrook equation)來描述:
![{\displaystyle {1 \over {\sqrt {\mathit {f}}}}=-2.0\log _{10}\left({\frac {\frac {\epsilon }{d}}{3.7}}+{\frac {2.51}{Re{\sqrt {\mathit {f}}}}}\right).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9fe2ffe2ba37243cb0b3306e8dda659b62eb43af)
1944年時路易斯·費理·穆迪繪製達西摩擦因子和雷諾數及相對粗糙度的之間的關係,即為今天所見的穆迪圖[1]。
不同摩擦因子的穆迪圖
摩擦因子除了達西摩擦因子外,還有一個是范寧摩擦因子,其數值是達西摩擦因子的四分之一。達西摩擦因子較常用在土木工程及機械工程的領域中,而范寧摩擦因子較常用在化學工程的領域中。
可以用下式由范寧摩擦因子計算水頭損失:
![{\displaystyle {h_{\mathrm {f} }=4f{\frac {l}{d}}{\frac {V^{2}}{2\,g}}},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f14beed9b46b380732c91266f044ae9486a99092)
也有對應范寧摩擦因子的穆迪圖,其特點是層流區的解析解為
。
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參考資料
- ^ Moody, L. F., Friction factors for pipe flow, Transactions of the ASME, 1944, 66 (8): 671–684 paper on mtu.edu 網際網路檔案館的存檔,存檔日期2008-09-08.