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線性組合

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線性代數
向量 · 向量空間 · 基底  · 行列式  · 矩陣

線性組合(英語:Linear combination)是線性代數中具有如下形式的表達式。其中為任意類型的項,為標量。這些純量稱為線性組合的係數或權。

定義

為一向量空間(附於)的子集合。

如果存在有限多個向量屬於,和對應的純量屬於,使得,則稱的線性組合。

規定:向量是空集合的線性組合。

線性生成

S F向量空間 V 的子集合。

所有 S 的有限線性組合構成的集合,稱為 S 所生成的空間,記作 span(S)。

任何 S 所生成的空間必有以下的性質:

1. 是一個 V 的子空間(所以包含0向量)

2. 幾何上是直的,沒有彎曲(即,任兩個 span(S) 上的點連線延伸,所經過的點必也在 span(S) 上)

線性無關

對於一個向量集 S ={v1,...,vn}, 若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合,

另一種表述方式是,如果將它們相減 () ,得到一個純量不全等於零的線性組合,而它的值為零:

那麼v1,...,vn 稱為「線性相關」;否則它們為線性無關。

S是線性無關,而S的生成空間等於V,那麼SV

仿射組合,錐組合及凸組合

仿射組合英語Affine combination錐組合英語Conical combination凸組合對線性組合的係數有一定的限制。

組合的種類 係數的限制 集合名 樣板空間
線性組合 無限制 向量子空間
仿射組合英語Affine combination 仿射子空間 仿射超平面
錐組合英語Conical combination 凸錐 象限八分圓英語Octagon (Plane geometry)
凸組合 and 凸集 單純形

因為這些組合的限制更加嚴格,所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此,仿射子集,凸錐,和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間,凸錐,也是凸集,但凸集不一定是向量子空間,仿射子空間,或凸錐。

這些概念的產生是由於對於一些特定的數學對象,人們可以採用某些線性組合,但並非任何線性組合:例如,概率分布在凸組合下是閉合的,並且它們形成一個凸集;但在錐組合,仿射組合,或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的,但在仿射或線性組合下不是。因此,我們將帶正負符號的測度英語signed measure定義為它的線性閉包。

線性和仿射組合可以在任何域或環上定義,但錐組合和凸組合需要「正數」的概念,因此只能在有序域有序環英語ordered ring上定義,最常見的例子是實數。

如果僅允許乘以標量而不允許相加,則我們得到一個(不一定是凸的)圓錐;通常來說,定義中只允許乘以正標量。

所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集,而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外,因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。

另見