線性代數
|
![{\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a31efc33ac33577d719a3ccd162a9bf21e4847ea)
|
向量 · 向量空間 · 基底 · 行列式 · 矩陣
|
|
|
線性組合(英語:Linear combination)是線性代數中具有如下形式的表達式。其中
為任意類型的項,
為標量。這些純量稱為線性組合的係數或權。
![{\displaystyle w=a_{1}v_{1}+a_{2}v_{2}+a_{3}v_{3}+\cdots +a_{n}v_{n}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8d6b0b3fc730b92fc2a21e581ea91d6ef24ca66a)
定義
為一向量空間
(附於體
)的子集合。
如果存在有限多個向量屬於
,和對應的純量
屬於
,使得
,則稱
是
的線性組合。
規定:
向量是空集合的線性組合。
線性生成
S 為域 F 上向量空間 V 的子集合。
所有 S 的有限線性組合構成的集合,稱為 S 所生成的空間,記作 span(S)。
任何 S 所生成的空間必有以下的性質:
1. 是一個 V 的子空間(所以包含0向量)
2. 幾何上是直的,沒有彎曲(即,任兩個 span(S) 上的點連線延伸,所經過的點必也在 span(S) 上)
線性無關
對於一個向量集 S ={v1,...,vn},
若向量空間中的單個向量可以寫作兩個不同的線性組合,
![{\displaystyle v=\sum a_{i}v_{i}=\sum b_{i}v_{i}{\text{ where }}(a_{i})\neq (b_{i}).}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/180c06f6bf16520196a8a1f1000f971c10bc6f6f)
另一種表述方式是,如果將它們相減 (
) ,得到一個純量不全等於零的線性組合,而它的值為零:
![{\displaystyle 0=\sum c_{i}v_{i}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c883cc6e3faea7da1ab479a19f7680c67f031f59)
那麼v1,...,vn 稱為「線性相關」;否則它們為線性無關。
若S是線性無關,而S的生成空間等於V,那麼S是V的基。
仿射組合,錐組合及凸組合
仿射組合,錐組合和凸組合對線性組合的係數有一定的限制。
組合的種類 |
係數的限制 |
集合名 |
樣板空間
|
線性組合 |
無限制 |
向量子空間 |
|
仿射組合 |
![{\displaystyle \sum a_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5311cb7815ed9c8bebfcb892a50cf7c1c1aa7750) |
仿射子空間 |
仿射超平面
|
錐組合 |
![{\displaystyle a_{i}\geq 0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6aefe5d34ff87d51c5218190cb4139ec9e35d8a9) |
凸錐 |
象限或八分圓
|
凸組合 |
and ![{\displaystyle \sum a_{i}=1}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5311cb7815ed9c8bebfcb892a50cf7c1c1aa7750) |
凸集 |
單純形
|
因為這些組合的限制更加嚴格,所以在這些運算之下的閉合子集也更多。因此,仿射子集,凸錐,和凸集都是向量子空間的一般化形式。所有向量子空間都是仿射子空間,凸錐,也是凸集,但凸集不一定是向量子空間,仿射子空間,或凸錐。
這些概念的產生是由於對於一些特定的數學對象,人們可以採用某些線性組合,但並非任何線性組合:例如,概率分布在凸組合下是閉合的,並且它們形成一個凸集;但在錐組合,仿射組合,或線性組合下不是閉合的。正測度在錐組合下是閉合的,但在仿射或線性組合下不是。因此,我們將帶正負符號的測度定義為它的線性閉包。
線性和仿射組合可以在任何域或環上定義,但錐組合和凸組合需要「正數」的概念,因此只能在有序域或有序環上定義,最常見的例子是實數。
如果僅允許乘以標量而不允許相加,則我們得到一個(不一定是凸的)圓錐;通常來說,定義中只允許乘以正標量。
所有這些概念通常都定義為環境向量空間的子集,而不是獨立地由公理定義。仿射空間除外,因為仿射空間也可以看作「沒有原點的向量空間」。
另見