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閉無界集

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數學中,尤其是數理邏輯集合論中,閉無界集(英語:closed and unbounded set, club set)是極限序數的一類子集,其在該極限序數的序拓撲中為,且相對於該極限序數為無界(見嚴格定義)。

嚴格定義

嚴格而言,若為極限序數,則集合當且僅當對每個,若,則。因此,若中,某序列的極限小於,則該極限也在中。[1]:91

為極限序數,且,則稱為在無界,意思是對任意,皆有使

若集合既閉又無界,則為閉無界集。有時也考慮閉的真類(由序數組成的真類必然在所有序數組成的類中無界)。

例如,所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集;然而,其並非任何更大的極限序數的閉無界子集,因為其既不閉,也非無界。所有極限序數構成的集合是的閉無界子集。從另一個角度,閉無界集即是正規函數英語normal function[1]:92(即遞增且連續的函數)的值域。

更一般地可以定義何種閉無界集。非空,為基數,且中每個大小小於的子集都包含於的某個元素中,則稱為閉無界集。(參見固定集英語stationary set

閉無界濾子

為極限序數,且其共尾性不可數。對,設的一列閉無界子集,則也是閉無界集。原因是,閉集的任意交必為閉,故只需證明該交集無界。固定任意,又對每個,從每個中,選取元素(可以如此選取,因為每個都無界)。由於此為少於個序數,且每個都小於,其上確界也必小於,稱其為。如此,得到可數序列,其極限同樣會是序列的極限,而由於每個皆為閉,且不可數,後者的極限必在中,所以的極限是上述交集的元素,且大於,但為任意,故交集無界,即為所求證。[1]:92

由此可見,若正則基數英語regular cardinal,則閉無界集生成上的非主完備濾子。該濾子可以符號表示成中的閉無界集

為正則基數,則閉無界集關於對角交運算英語Diagonal intersection亦是封閉的。[1]:92

反之,若正則,而上關於對角交運算封閉的濾子,且所有形如(其中)的集合皆為的元素,則所有閉無界集均屬於

參見

參考資料

  1. ^ 1.0 1.1 1.2 1.3 Jech, Thomas. Set Theory: The Third Millennium Edition, Revised and Expanded [集合論:第三千紀版,經修訂及擴展]. Springer. 2003. ISBN 3-540-44085-2 (英語). 
  • Lévy, Azriel. Basic Set Theory [基礎集合論]. Perspectives in Mathematical Logic Reprinted 2002, Dover (Springer-Verlag). 1979. ISBN 0-486-42079-5 (英語).