閉無界集

數學中，尤其是數理邏輯和集合論中，閉無界集（英語：closed and unbounded set, club set）是極限序數的一類子集，其在該極限序數的序拓撲中為閉，且相對於該極限序數為無界（見嚴格定義）。

嚴格定義

嚴格而言，若 $\kappa$ 為極限序數，則集合 $C\subseteq \kappa$ 為閉當且僅當對每個 $\alpha <\kappa$ ，若 $\sup(C\cap \alpha )=\alpha \neq 0$ ，則 $\alpha \in C$ 。因此，若 $C$ 中，某序列的極限小於 $\kappa$ ，則該極限也在 $C$ 中。^[1]^:91

若 $\kappa$ 為極限序數，且 $C\subseteq \kappa$ ，則 $C$ 稱為在 $\kappa$ 中無界，意思是對任意 $\alpha <\kappa$ ，皆有 $\beta \in C$ 使 $\alpha <\beta$ 。

若集合既閉又無界，則為閉無界集。有時也考慮閉的真類（由序數組成的真類必然在所有序數組成的類 $\mathrm {On}$ 中無界）。

例如，所有可數極限序數構成的集合就是首個不可數序數的閉無界子集；然而，其並非任何更大的極限序數的閉無界子集，因為其既不閉，也非無界。所有極限序數 $\alpha <\kappa$ 構成的集合是 $\kappa$ 的閉無界子集。從另一個角度，閉無界集即是正規函數（英語：normal function）^[1]^:92（即遞增且連續的函數）的值域。

更一般地可以定義何種 $C\subseteq [X]^{\lambda }$ 為閉無界集。若 $X$ 非空， $\lambda$ 為基數，且 $X$ 中每個大小小於 $\lambda$ 的子集都包含於 $C$ $C$ 的某個元素中，則 $C$ 稱為閉無界集。（參見固定集（英語：stationary set））

閉無界濾子

設 $\kappa$ 為極限序數，且其共尾性 $\lambda$ 不可數。對 $\alpha <\lambda$ ，設 $\langle C_{\xi }:\xi <\alpha \rangle$ 為 $\kappa$ 的一列閉無界子集，則 $\bigcap _{\xi <\alpha }C_{\xi }$ 也是閉無界集。原因是，閉集的任意交必為閉，故只需證明該交集無界。固定任意 $\beta _{0}<\kappa$ ，又對每個 $n<\omega$ ，從每個 $C_{\xi }$ 中，選取元素 $\beta _{n+1}^{\xi }>\beta _{n}$ （可以如此選取，因為每個 $C_{\xi }$ 都無界）。由於此為少於 $\lambda$ 個序數，且每個都小於 $\kappa$ ，其上確界也必小於 $\kappa$ ，稱其為 $\beta _{n+1}$ 。如此，得到可數序列 $\beta _{0},\beta _{1},\beta _{2},\dots$ ，其極限同樣會是序列 $\beta _{0}^{\xi },\beta _{1}^{\xi },\beta _{2}^{\xi },\dots$ 的極限，而由於每個 $C_{\xi }$ 皆為閉，且 $\lambda$ 不可數，後者的極限必在 $C_{\xi }$ 中，所以 $(\beta _{n})$ 的極限是上述交集的元素，且大於 $\beta _{0}$ ，但 $\beta _{0}$ 為任意，故交集無界，即為所求證。^[1]^:92

由此可見，若 $\kappa$ 為正則基數（英語：regular cardinal），則閉無界集生成 $\kappa$ 上的非主 $\kappa$ 完備濾子。該濾子可以符號表示成 $\{S\subset \kappa :\exists C\subseteq \kappa ,C\subseteq S,$ 且 $C$ 是 $\kappa$ 中的閉無界集 $\}$ 。

若 $\kappa$ 為正則基數，則閉無界集關於對角交運算（英語：Diagonal intersection）亦是封閉的。^[1]^:92

反之，若 $\kappa$ 正則，而 ${\mathcal {F}}$ 為 $\kappa$ 上關於對角交運算封閉的濾子，且所有形如 $\{\xi <\kappa :\xi \geq \alpha \}$ （其中 $\alpha <\kappa$ ）的集合皆為 ${\mathcal {F}}$ 的元素，則所有閉無界集均屬於 ${\mathcal {F}}$ 。