ARMA模型

ARMA模型（英語：Autoregressive moving average model，全稱：自我迴歸滑動平均模型）。是研究時間序列的重要方法，由自迴歸模型（簡稱AR模型）與移動平均模型（簡稱MA模型）為基礎「混合」構成。在市場研究中常用於長期追蹤資料的研究，如：Panel研究中，用於消費行為模式變遷研究；在零售研究中，用於具有季節變動特徵的銷售量、市場規模的預測等。

自我迴歸AR(p)模型

$X_{t}=c+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\varepsilon _{t}.\,$

自回歸模型描述的是當前值與歷史值之間的關係。

其中：$c$是常數項；$\varepsilon _{t}$被假設為平均數等於0，標準差等於$\sigma$的隨機誤差值；$\varepsilon _{t}$被假設為對於任何的$t$都不變。

移動平均MA(q)模型

$X_{t}=\mu +\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}\varepsilon _{t-i}\,$

移動平均模型描述的是自回歸部分的誤差累計。

其中 μ 是序列的均值，θ₁,..., θ_q 是參數，ε_t , ε_t-1,..., ε_t−q 都是 白噪聲。

ARMA(p,q)模型

ARMA(p,q)模型中包含了p個自回歸項和q個移動平均項，ARMA(p,q)模型可以表示為：

$X_{t}=c+\varepsilon _{t}+\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}X_{t-i}+\sum _{j=1}^{q}\theta _{j}\varepsilon _{t-j}\$

ARMA滯後算子表示法

有時ARMA模型可以用滯後算子（Lag operator）$L$ 來表示，$L^{i}X_{t}=X_{t-i}$。這樣AR(p)模型可以寫成為：

$\varepsilon _{t}=\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\varphi (L)X_{t}\,$

其中$\varphi$表示多項式

$\varphi (L)=1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\,$

MA(q)模型可以寫成為：

$X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}\,$

其中θ 表示多項式

$\theta (L)=1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\,$

最後，ARMA(p,q)模型可以表示為：

$\left(1-\sum _{i=1}^{p}\varphi _{i}L^{i}\right)X_{t}=\left(1+\sum _{i=1}^{q}\theta _{i}L^{i}\right)\varepsilon _{t}\,$

或者

$\varphi (L)X_{t}=\theta (L)\varepsilon _{t}.\,$

若$\varphi (L)=1$,則ARMA過程退化為MA(q)過程 若$\theta (L)=1$,則ARMA過程退化為AR(p)過程。

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