九章算術
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九章算術 | |
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全名:九章算術 | |
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其他名稱 | 九章算經 |
作者 | 佚名,相傳為黃帝時隸首所作[1] |
編者 | 西漢 張蒼、耿壽昌 註釋:三國魏 劉徽、 唐 李淳風 |
類型 | 子部術數類 |
語言 | 上古漢語、文言文 |
版本 | 宋嘉定鮑澣之刻本 |
成書年代 | 西漢 |
保存狀態 | 篇數:九篇 卷數:九卷 |
收錄於 | 《後漢書》 |
編輯 | 劉徽 |
出版機構 | 未知值 |
出版地點 | 中國 |
《九章算術》九卷,是現存最早的中國古代數學著作之一,《算經十書》中最重要的一種。其作者不可考。後集成書約於公元前100年,匯集了周朝以來的古代數學知識,[2]由西漢張蒼彙整。《九章算術》是人類科學史上應用數學的「算經之首」,也是中國古代算法的扛鼎之作,更是一部與《幾何原本》並列為世界兩大數學體系的代表作。全書總共九章,分為二百四十六題二百零二術數學題[3],並提供其解法,這些算法要比歐洲同類算法早1500多年,對世界數學發展產生了重要影響。[4]
歷史
根據研究,西漢的張蒼、耿壽昌曾經做過增補和整理,其時大體已成定本。其基本內容在西漢後期已經基本定型。九章算術將書中的所有數學問題分為九大類,就是「九章」。
1984年,在湖北出土了《算數書》書簡。據考證,它比《九章算術》要早一個半世紀以上,書中有些內容和《九章算術》非常相似,一些內容的文句也基本相同。有人推測兩書具有某些繼承關係[5],但也有不同的看法認為《九章算術》沒有直接受到《算數書》影響。
由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法,卻很少有任何解釋和說明,所以有很多人曾為《九章算術》作注,提出了簡括的證明,證明了一些算法的正確性。較為著名的有在三國時期魏元帝景元四年(263年),劉徽為《九章》作注,加上自己的心得體會,使其便於被了解,而可以流傳下來[5]。唐代李淳風又重新做注(656年),《算經十書》之一[5],也是國子監算學館的教材和明算科的考試項目。
體例
《九章算術》共收有246個數學問題,分為九大類,在一個或幾個問題之後,列出這個問題的解法。
- 方田章:主要是田畝面積的計算和分數的計算,是世界上最早對分數進行系統敘述的著作[5]。
- 粟米章:主要是糧食交易的計算方法,其中涉及許多比例問題[5]。
- 衰分章:主要內容為分配比例的算法[5]。
- 少廣章:主要講開平方和開立方的方法[5]。
- 商功章:主要是土石方和用工量等工程數學問題,以體積的計算為主[5]。
- 均輸章:計算稅收等更加複雜的比例問題[5]。
- 盈不足章:雙設法的問題[5]。[6]
- 方程章:主要是聯立一次方程組的解法和正負數的加減法,在世界數學史上是第一次出現[5]。
- 勾股章:勾股 定理,當時社會生活應用,即300年後出現之畢氏定理其應用[5]。
內容
實數系統
《九章算術》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述,但卻加以廣泛應用,以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書,但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如:合分術(加法)、減分術(減法)、乘分術(乘法)、經分術(除法)、課分術(比較大小)、約分術(簡化分數)與平分術(平均數)[7]。
《九章算術》出現負數概念,方程章為了配合方程術的算法,給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之」。加法為「異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之」。其中「除」是減,「益」是加,「無入」是指沒有對方,不過乘除法並未記載[7]。
《九章算術》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述,基本上具備實數系統的雛形[7]。
比例與盈虧算法
粟米章所述今有術,即是四項比例算法,按術文「以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一」[7]。
今有術在《九章算術》應用非常廣泛,為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術,為配分比例算法。其術文為:「各置列衰,副併為法,以所分乘未併者各自為實,實如法而一」[7]。
《九章算術》以列衰的倒數為列衰,稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法,就是均輸章的均輸術。《九章算術》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎,發展而匯集起來的各種算法[7]。
盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題,都有確切答案。盈不足術為了推算答案,預先設立一個數字作為答案,依題目核算,若結果合問題,所設之數就是答案;若不合問,非盈即不足;通過兩次假設,即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種,即一盈一不足,兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算術》則匯集這五種問題,並給出算法[7]。
盈不足章除了擁有算術應用問題外,還包括一些初等超越方程問題,用這種模式算法解出前一類問題得到確切解,用以解後一類問題則得近似解[7]。
求積與勾股
《九章算術》論述的幾何圖形,多為直線型和圓型的圖形,根據算田畝的需要,《九章算術》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要,《九章算術》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法,這些體積算法的編排,由簡單到複雜,形成獨特的理論體系[7]。
勾股計算,《九章算術》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[7]。
勾股互求,即是已知勾股的一般線段,推求其他線段。勾股整數,即是《九章算術》給出推求勾、股、弦,都是整數的算法。勾股兩容,為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似,為利用相似勾股形性質,進行簡單測遠、測高的算法[7]。
《九章算術》對幾何問題的處理,分為三部分,有體積算法、面積算法、線段算法,分別隸屬於商功、方田、勾股三章[7]。
開方與方程
《九章算術》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法,可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算術》記載的這些算法非常詳盡,經由這些論述,可以了解中國古代代數學發展的成果[7]。
開平方術、開立方術,不但可以解出二項二次方程、二項三次方程,而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎,在數學的發展也有重要地位[7]。
方程章所論「方程」,地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」,為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思,「直除法」為連續相減消元法,在理論上、算法上與今天加減消元完全一樣[7]。
在方程章所列十八題中,有的相當於二元一次方程組,有的相當於三元一次方程組,也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為:「今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。問井深,綆長各幾何」。所問是六個未知數之值,依題意只能列出五個一次方程,可見這是世界上最早的一次不定方程組[7]。
影響
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《九章算術》總結了自先秦以來的中國古代數學,它既包含了以前已經解決了的數學問題,又有漢朝時新發現的數學成就。一般認為,它在數學史上,標誌着中國古代數學體系的形成,是中國古代數學體系的初期代表作[7]。
《九章算術》問世之前的中國先秦典籍中,記錄了不少數學知識,但是卻沒有《九章算術》的系統論述,尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例,從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家,都是從此開始學習和研究,唐、宋時,為國家明令規定的教科書,北宋時由政府刊刻,又是世界上最早的印刷本數學書[8]。
《九章算術》中有許多數學問題都是世界上記載最早的。例如,關於比例算法的問題,它和後來在16世紀西歐出現的三一律的算法一樣。關於雙設法的問題,在阿拉伯曾稱為契丹算法,13世紀以後的歐洲數學著作中也有如此稱呼的,這也是中國古代數學知識向西方傳播的一個證據。
《九章算術》對中國古代的數學發展有很大影響,這種影響一直持續到了清朝中葉。《九章算術》的敘述方式以歸納為主,先給出若干例題,再給出解法,不同於西方以演繹為主的敘述方式,中國後來的數學著作也都是採用敘述方式為主。歷代數學家有不少人曾經註釋過這本書,其中以劉徽和李淳風的註釋最有名。
《九章算術》隋、唐時,流傳到了日本和朝鮮,對其古代的數學發展也產生了很大的影響,之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲,現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本[8]。
譯本
- 俄譯本:«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
- 德譯本:Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
- 英譯本:The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen(沈康身), John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
- 法譯本:Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
- 日譯本:川原秀城「劉徽註九章算術」(『中国天文学・数学集』所収、1980年11月、朝日出版社)
參考文獻
引用
- ^ 辭典檢視 九章算術. 中華民國國家教育研究院 教育部重編國語辭典修訂本. [2023-11-23]. (原始內容存檔於2023-11-23).
- ^ 《九章算術》的方程術. 線代啟示錄. [2023-11-23]. (原始內容存檔於2023-11-23).
- ^ 王子今. 第五篇〈天文歷算之學〉. 《秦漢史—帝國的建立》. 2009: 346–348.
- ^ 漢 張蒼等 (編). 九章算術(全譯修訂版). [2023-11-23]. ISBN 9787229104238. (原始內容存檔於2023-11-23).
- ^ 5.00 5.01 5.02 5.03 5.04 5.05 5.06 5.07 5.08 5.09 5.10 5.11 胡世慶. 第二十六章第一節〈數學〉. 《中國文化通史》. 2009: 822–831.
- ^ HPM通訊第七卷第一期 (頁面存檔備份,存於互聯網檔案館),台師大數學系碩士班研究生 張復凱
- ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 地球社編輯部. 第七章第一節〈數學〉. 《中國文明史 第三卷 秦漢時代 中冊》. 1992: 515–531.
- ^ 8.0 8.1 龔書鐸. 第五十一章延伸知識〈《九章算術》總結先秦數學〉. 《圖說秦漢》. 2009: 177.
來源
- 郭書春 譯註 《九章算術》 上海古籍出版社 2009 ISBN 978-7-5325-5433-1
外部連結
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