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九章算术

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九章算术
全名:九章算術
其他名称九章算經
作者佚名,相傳為黃帝時隸首所作[1]
编者西漢 張蒼耿壽昌
注釋:三國魏 刘徽
李淳風
类型子部術數類
语言上古汉语文言文
版本嘉定鮑澣之刻本
成书年代西漢
發行信息
保存状态篇数:九篇
卷數:九卷
收录于後漢書
編輯刘徽
出版机构未知值
出版地點中國

九章算术》九卷,是現存最早的中國古代数学著作之一,《算经十书》中最重要的一种。其作者不可考。後集成書約於公元前100年,匯集了周朝以來的古代數學知識,[2]由西漢張蒼彙整。《九章算術》是人類科學史上應用數學的「算經之首」,也是中國古代算法的扛鼎之作,更是一部與《幾何原本》並列為世界兩大數學體系的代表作。全書總共九章,分為二百四十六題二百零二術數學題[3],並提供其解法,這些算法要比歐洲同類算法早1500多年,對世界數學發展產生了重要影響。[4]

歷史

根据研究,西汉张苍耿寿昌曾经做过增补和整理,其时大体已成定本。其基本内容在西汉后期已经基本定型。九章算术将书中的所有数学问题分为九大类,就是“九章”。

1984年,在湖北出土了《算数书》书简。据考证,它比《九章算术》要早一个半世纪以上,书中有些内容和《九章算术》非常相似,一些内容的文句也基本相同。有人推测两书具有某些继承关系[5],但也有不同的看法认为《九章算术》没有直接受到《算数书》影响。

由於《九章算術》中只是列出了例子及一般的算法,卻很少有任何解釋和說明,所以有很多人曾為《九章算術》作注,提出了簡括的證明,證明了一些算法的正確性。較為著名的有在三国时期魏元帝景元四年(263年),刘徽为《九章》作注,加上自己的心得体会,使其便于被了解,而可以流传下来[5]唐代李淳风又重新做注(656年),《算经十书》之一[5],也是国子监算学馆的教材和明算科的考试项目。

体例

《九章算术》共收有246个数学问题,分为九大类,在一个或几个问题之后,列出这个问题的解法。

  1. 方田章:主要是田亩面积的计算和分数的计算,是世界上最早对分数进行系统叙述的著作[5]
  2. 粟米章:主要是粮食交易的计算方法,其中涉及许多比例问题[5]
  3. 衰分章:主要内容为分配比例的算法[5]
  4. 少广章:主要讲开平方开立方的方法[5]
  5. 商功章:主要是土石方和用工量等工程数学问题,以体积的计算为主[5]
  6. 均输章:计算税收等更加复杂的比例问题[5]
  7. 盈不足章:双设法的问题[5][6]
  8. 方程章:主要是联立一次方程组的解法和正负数的加减法,在世界数学史上是第一次出现[5]
  9. 勾股章:勾股 定理,當時社會生活應用,即300年後出現之勾股定理其应用[5]

內容

實數系統

《九章算术》對自然數即正整數及其運算沒有給予論述,但卻加以廣泛應用,以自然數的基礎上編寫。雖然不是論述分數的專書,但是對於分數的意義、性質、四則運算論述完備。例如:合分術(加法)、減分術(減法)、乘分術(乘法)、經分術(除法)、課分術(比較大小)、約分術(簡化分數)與平分術(平均數)[7]

《九章算术》出現負數概念,方程章為了配合方程術的算法,給出正負數的加、減法則。減法為「同名相除,異名相益,正無入負之,負無入正之」。加法為「異名相除,同名相益,正無入正之,負無入負之」。其中「除」是減,「益」是加,「無入」是指沒有對方,不過乘除法並未記載[7]

《九章算术》對自然數、分數、正負數以及一些特殊無理數給予一定的論述,基本上具備實數系統的雛形[7]

比例與盈虧算法

粟米章所述今有術,即是四項比例算法,按術文「以所有數乘所求率為實,以所有率為法,實如法而一」[7]

今有術在《九章算术》應用非常廣泛,為一種解題的基本算法。另一種常用的算法是衰分章的衰分術,為配分比例算法。其術文為:「各置列衰,副併為法,以所分乘未併者各自為實,實如法而一」[7]

《九章算术》以列衰的倒數為列衰,稱為反衰術。反衰術就是衰分術與反比例相結合的算分。而衰分術與反衰術相結合的算法,就是均輸章的均輸術。《九章算术》不但有正比例算法、而且還有反比例算法、複比例算法、連比例算法以及配分比例算法。這些算法都是以今有術為基礎,發展而匯集起來的各種算法[7]

盈不足術是中國古代一種解算術難題的算法。一般算術應用題,都有確切答案。盈不足術為了推算答案,預先設立一個數字作為答案,依題目核算,若結果合問題,所設之數就是答案;若不合問,非盈即不足;通過兩次假設,即可利用盈不足術求出答案。這類問題共有五種,即一盈一不足,兩盈、兩不足、一盈一適足、一不足一適足。《九章算术》則匯集這五種問題,並給出算法[7]

盈不足章除了擁有算術應用問題外,還包括一些初等超越方程問題,用這種模式算法解出前一類問題得到確切解,用以解後一類問題則得近似解[7]

求積與勾股

《九章算术》論述的幾何圖形,多為直線型和圓型的圖形,根據算田畝的需要,《九章算术》論述方田、圭田、邪田、箕田、圓田、弧田、環田及宛圓的面積算法。另外由於土木建築的需要,《九章算术》還有論述直線型立體和圓型立體圖形的體積算法,這些體積算法的編排,由簡單到複雜,形成獨特的理論體系[7]

勾股計算,《九章算术》分為四類問題。有勾股互求、勾股整數、勾股兩容、勾股相似[7]

勾股互求,即是已知勾股的一般線段,推求其他線段。勾股整數,即是《九章算术》給出推求勾、股、弦,都是整數的算法。勾股兩容,為推求勾股形內接正方形及內切圓的算法。勾股相似,為利用相似勾股形性質,進行簡單測遠、測高的算法[7]

《九章算术》對幾何問題的處理,分為三部分,有體積算法、面積算法、線段算法,分別隸屬於商功、方田、勾股三章[7]

開方與方程

《九章算术》列出的平方術、開立方術以及線性方程組的解法,可以看作中國古代代數學的主要內容。《九章算术》記載的這些算法非常詳盡,經由這些論述,可以了解中國古代代數學發展的成果[7]

開平方術、開立方術,不但可以解出二項二次方程、二項三次方程,而且可以解出一般的二次數值方程和三次數值方程。它是中國古代解出高次數值方程的基礎,在數學的發展也有重要地位[7]

方程章所論「方程」,地位相當於今天線性方程組。所論「方程術」,為所謂「直除法」。「直除」是連續相減的意思或累減的意思,「直除法」為連續相減消元法,在理論上、算法上與今天加減消元完全一樣[7]

在方程章所列十八題中,有的相當於二元一次方程組,有的相當於三元一次方程組,也有的相當於五元一次方程組。其中第十三題為:「今有五家共井,甲二綆不足,如乙一綆;乙三綆不足,如丙一綆;丙四綆不足,如丁一綆;丁五綆不足,如戊一綆;戊六綆不足,如甲一綆。如各得所不足一綆,皆逮。問井深,綆長各幾何」。所問是六個未知數之值,依題意只能列出五個一次方程,可見這是世界上最早的一次不定方程組[7]

影響

九章算術影宋本

《九章算术》总结了自先秦以来的中国古代数学,它既包含了以前已经解决了的数学问题,又有汉朝时新发现的数学成就。一般认为,它在数学史上,标志着中国古代数学体系的形成,是中国古代数学体系的初期代表作[7]

《九章算术》問世之前的中國先秦典籍中,記錄了不少數學知識,但是卻沒有《九章算术》的系統論述,尤其是由易到難、由淺入深、從簡單到複雜的編排體例,從而形成中國傳統數學的理論體系。因而後世的中國數學家,都是從此開始學習和研究,唐、宋時,為國家明令規定的教科書,北宋時由政府刊刻,又是世界上最早的印刷本數學書[8]

《九章算术》中有许多数学问题都是世界上记载最早的。例如,关于比例算法的问题,它和后来在16世纪西欧出现的三分律的算法一样。关于双设法的问题,在阿拉伯曾称为契丹算法,13世纪以后的欧洲数学著作中也有如此称呼的,这也是中国古代数学知识向西方传播的一个证据

《九章算术》对中国古代的数学发展有很大影响,这种影响一直持续到了清朝中叶。《九章算术》的叙述方式以归纳为主,先给出若干例题,再给出解法,不同于西方以演绎为主的叙述方式,中国后来的数学著作也都是采用叙述方式为主。历代数学家有不少人曾经注释过这本书,其中以刘徽李淳风的注释最有名。

《九章算术》隋、唐時,流传到了日本朝鲜,对其古代的数学发展也产生了很大的影响,之後更遠傳到印度、阿拉伯和歐洲,現已譯成日、俄、英、法和德等多種文字版本[8]

译本

  • 俄译本:«Математика в девяти книгах» / Перевод и примечания Э. И. Березкиной // Историко-математические исследования. 1957.
  • 德译本:Chiu Chang Suan Shu, Neun Bucher Arithmetischer Technik, Ubersetzt von K.Vogel, F.Verlag 1968
  • 英译本:The Nine Chapters on the Mathematical Art, Companion and Commentary Translated and edited by Shen Kangshen(沈康身), John Crossley and Anthony Lun ISBN 978-0-19-853936-0, Oxford University Press
  • 法译本:Chemla, Karine, and Shuchun Guo. . Les neuf chapitres: le classique mathmatique de la Chine ancienne et ses commentaires. 2004 Paris: Dunod.
  • 日译本:川原秀城「劉徽註九章算術」(『中国天文学・数学集』所収、1980年11月、朝日出版社)

参考文献

引用

  1. ^ 辭典檢視 九章算術. 中華民國國家教育研究院 教育部重編國語辭典修訂本. [2023-11-23]. (原始内容存档于2023-11-23). 
  2. ^ 《九章算術》的方程術. 線代啟示錄. [2023-11-23]. (原始内容存档于2023-11-23). 
  3. ^ 王子今. 第五篇〈天文歷算之學〉. 《秦漢史—帝國的建立》. 2009: 346–348. 
  4. ^ 漢 張蒼等 (编). 九章算術(全譯修訂版). [2023-11-23]. ISBN 9787229104238. (原始内容存档于2023-11-23). 
  5. ^ 5.00 5.01 5.02 5.03 5.04 5.05 5.06 5.07 5.08 5.09 5.10 5.11 胡世慶. 第二十六章第一節〈數學〉. 《中國文化通史》. 2009: 822–831. 
  6. ^ HPM通訊第七卷第一期页面存档备份,存于互联网档案馆),台師大數學系碩士班研究生 張復凱
  7. ^ 7.00 7.01 7.02 7.03 7.04 7.05 7.06 7.07 7.08 7.09 7.10 7.11 7.12 7.13 7.14 7.15 7.16 地球社編輯部. 第七章第一節〈數學〉. 《中國文明史 第三卷 秦漢時代 中冊》. 1992: 515–531. 
  8. ^ 8.0 8.1 龔書鐸. 第五十一章延伸知識〈《九章算術》總結先秦數學〉. 《圖說秦漢》. 2009: 177. 

来源

外部链接