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虧格

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數學上的虧格,也稱為曲面種數(英語:Genus)有幾個不同但密切相關的意思。最常見的概念是(有方向的)曲面的虧格,是其具有的「孔」的數量,因此,一個球體的虧格為0,而一個圓環的虧格為1。

可定向曲面

連通,可定向曲面虧格是一個整數,代表沿閉簡單曲線切開但不切斷曲面的最大曲線條數。這和的個數是相同的。

例如:

  • 球面圓盤和環虧格都為0。
  • 環面虧格1,和帶一個柄的咖啡杯的表面是一樣的。

不可定向曲面

連通,不可定向閉曲面的(不可定向)虧格是一個正整數,代表附在球上的交叉帽的個數。

例如:

紐結

紐結K虧格定義為所有KSeifert曲面的最小虧格。

柄體

3維柄體虧格是一個整數,代表沿嵌入的圓盤切開而不切斷流形的最大切割數。這和柄的個數是一致的。

例如:

  • 虧格0。
  • 實心環虧格為1。

虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個柄的球面上(也就是虧格為n的可定向曲面)。這樣,一個平面圖虧格為0,因為可以畫在球面上而沒有自交。

不可定向虧格是最小的整數n使得圖可以不用交叉就畫在有n個交叉帽的球面上(也就是不可定向虧格為n的不可定向曲面)。

拓撲圖論中,有幾種對的虧格的定義。Arthur T. White引入了如下概念。群虧格的任意(連通,無向)凱萊圖的最小格。

有個任意代數曲線C虧格的定義. 當定義C的域是複數,且C奇異點時,該定義和作為黎曼曲面C的拓撲定義相同(其複數點組成的流形).代數幾何中的橢圓曲線的定義為虧格為1的非奇異曲線

參看