數學中,交錯群(alternating group)是一個有限集合偶置換之群。集合
上的交錯群稱為
階交錯群,或
個字母上的交錯群,記做
或
。
例如,4 階交錯群是
(參見輪換記法)。
基本性質
對
,群
是對稱群
的交換子群,指數為 2,從而有
個元素。它是符號群同態
的核。
群
是阿貝爾的當且僅當
,是單純群當且僅當
或
。注意
事實上是 3 階單純群。
與
是 1 階群,一般不稱為單純群的,而
有一個非平凡正規子群從而不是單純群。
是最小非阿貝爾單純群,階數為 60,也是最小不可解群。
共軛類
在對稱群中,
的共軛類由有相同輪換型的元素組成。但是如果輪換類型只由沒有兩個長度相等的奇數長的輪換組成,這裏長為 1 的輪換包含在輪換型中,則對這樣的輪換型恰有兩個共軛類 (Scott 1987,§11.1, p299)。
例如:
- 兩個置換 (123) 與 (132) 有相同的輪換型從而在 S3 中共軛,但在 A3 中不共軛。
- 置換 (123)(45678) 與其逆 (132)(48765) 有相同的輪換型所以在 S8 中共軛,但在 A8 中不共軛。
自同構群
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對 n > 3,除了 n = 6,An 的自同構群就是 Sn 的自同構群,其內自同構群為 An 外自同構群為 Z2;外自同構來自用一個奇置換共軛。
對 n = 1 與 2,自同構群平凡。對 n = 3 自同構群是 Z2,其內自同構群平凡外自同構群為 Z2。
A6 的外自同構群是克萊因四元群 V = Z2 × Z2,這也是 S6 的自同構群。 A6 另外的自同構將三輪換(比如 (123))與 32 型元素(比如 (123)(456))交換。
特殊同構
在小交錯群與小李型群之間有一些同構。他們是
- A4 同構於 PSL2(3) 以及手征性四面體對稱之對稱群。
- A5 同構於 PSL2(4),PSL2(5),以及手征性二十面體對稱之對稱群。
- A6 同構於 PSL2(9) 與 PSp4(2)'。
- A8 同構於 PSL4(2)。
更顯然有 A3 同構於循環群 Z3,以及 A1 與 A2 同構於平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 對任何 q)。
子群
A4 是說明拉格朗日定理的逆命題一般不成立的最小群:給定一個有限群 G 和 |G| 的一個因子 d,不一定存在 G 的一個 d 階子群。群 G = A4,階為 12,沒有 6 階子群。有三個元素的子群(由三個物件的輪換旋轉生成)再加上任何一個其它元素生成整個群。
群同調
交錯群的群同調體現了類似穩定同倫理論中的穩定性:對足夠大的 n 是常值。
H1:阿貝爾化
第一同調群與阿貝爾化相同,因為
除去已經提到的例外是完全群(完滿群),從而有
![{\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74c435681fd6aaee1f4cc4304e67952c35f6370)
![{\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f927215f1775adda4352d762234bdf37aaf6441c)
for
and ![{\displaystyle n\geq 5.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ace4b0e08122e1716f274a531f669db2a008a2)
H2:舒爾乘子
當 n 等於 5 或大於等於 8 時,交錯群 An 的舒爾乘子是 2 階循環群;在 6 和 7 時有一個三重覆蓋,則舒爾乘子的階數為 6。
for ![{\displaystyle n=1,2,3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55e5951117d0f790f1e243039600ea927f65f2d)
對 ![{\displaystyle n=6,7;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dd73ee5bce4ec758c6eb818b0f08269a6791ce)
對
與 ![{\displaystyle n\geq 8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a980966bb9309d10f0c77050520c8dacb4363573)
參考文獻