数学中,交错群(alternating group)是一个有限集合偶置换之群。集合
上的交错群称为
阶交错群,或
个字母上的交错群,记做
或
。
例如,4 阶交错群是
(参见轮换记法)。
基本性质
对
,群
是对称群
的交换子群,指数为 2,从而有
个元素。它是符号群同态
的核。
群
是阿贝尔的当且仅当
,是单群当且仅当
或
。注意
事实上是 3 阶单群。
与
是 1 阶群,一般不称为单群的,而
有一个非平凡正规子群从而不是单群。
是最小非阿贝尔单群,阶数为 60,也是最小不可解群。
共轭类
在对称群中,
的共轭类由有相同轮换型的元素组成。但是如果轮换类型只由没有两个长度相等的奇数长的轮换组成,这里长为 1 的轮换包含在轮换型中,则对这样的轮换型恰有两个共轭类 (Scott 1987,§11.1, p299)。
例如:
- 两个置换 (123) 与 (132) 有相同的轮换型从而在 S3 中共轭,但在 A3 中不共轭。
- 置换 (123)(45678) 与其逆 (132)(48765) 有相同的轮换型所以在 S8 中共轭,但在 A8 中不共轭。
自同构群
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对 n > 3,除了 n = 6,An 的自同构群就是 Sn 的自同构群,其内自同构群为 An 外自同构群为 Z2;外自同构来自用一个奇置换共轭。
对 n = 1 与 2,自同构群平凡。对 n = 3 自同构群是 Z2,其内自同构群平凡外自同构群为 Z2。
A6 的外自同构群是克莱因四元群 V = Z2 × Z2,这也是 S6 的自同构群。 A6 另外的自同构将三轮换(比如 (123))与 32 型元素(比如 (123)(456))交换。
特殊同构
在小交错群与小李型群之间有一些同构。他们是
- A4 同构于 PSL2(3) 以及手征性四面体对称之对称群。
- A5 同构于 PSL2(4),PSL2(5),以及手征性二十面体对称之对称群。
- A6 同构于 PSL2(9) 与 PSp4(2)'。
- A8 同构于 PSL4(2)。
更显然有 A3 同构于循环群 Z3,以及 A1 与 A2 同构于平凡群(也是 SL1(q)=PSL1(q) 对任何 q)。
子群
A4 是说明拉格朗日定理的逆命题一般不成立的最小群:给定一个有限群 G 和 |G| 的一个因子 d,不一定存在 G 的一个 d 阶子群。群 G = A4,阶为 12,没有 6 阶子群。有三个元素的子群(由三个对象的轮换旋转生成)再加上任何一个其它元素生成整个群。
群同调
交错群的群同调体现了类似稳定同伦理论中的稳定性:对足够大的 n 是常值。
H1:阿贝尔化
第一同调群与阿贝尔化相同,因为
除去已经提到的例外是完全群(完满群),从而有
![{\displaystyle H_{1}(A_{3},\mathbf {Z} )=A_{3}^{\text{ab}}=A_{3}=\mathbf {Z} /3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d74c435681fd6aaee1f4cc4304e67952c35f6370)
![{\displaystyle H_{1}(A_{4},\mathbf {Z} )=A_{4}^{\text{ab}}=\mathbf {Z} /3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f927215f1775adda4352d762234bdf37aaf6441c)
for
and ![{\displaystyle n\geq 5.\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e8ace4b0e08122e1716f274a531f669db2a008a2)
H2:舒尔乘子
当 n 等于 5 或大于等于 8 时,交错群 An 的舒尔乘子是 2 阶循环群;在 6 和 7 时有一个三重复盖,则舒尔乘子的阶数为 6。
for ![{\displaystyle n=1,2,3;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d55e5951117d0f790f1e243039600ea927f65f2d)
对 ![{\displaystyle n=6,7;\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b5dd73ee5bce4ec758c6eb818b0f08269a6791ce)
对
与 ![{\displaystyle n\geq 8.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a980966bb9309d10f0c77050520c8dacb4363573)
参考文献