全狀態回授 (Full state feedback)也稱為極點安置 (pole placement),是反饋 控制系統理論中的一種控制方式,規劃受控體 的閉迴路極點 在S平面 中事先定義的位置上[1] 。在規劃控制系統時,會希望可以規劃極點的位置,因為極點位置直接對應系統的特徵值 ,而特徵值直接影響系統的反應特性。若要用此方法控制,系統必須有可控制性 。在多輸入及多輸出的系統中常用此方式控制,例如主動懸架系統[2] 。
原理
開迴路的系統
若系統的開迴路特性可以用狀態 方程式來表示[3]
x
_
˙
=
A
x
_
+
B
u
_
,
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=\mathbf {A} {\underline {x}}+\mathbf {B} {\underline {u}},}
而其輸出方程式為
y
_
=
C
x
_
+
D
u
_
,
{\displaystyle {\underline {y}}=\mathbf {C} {\underline {x}}+\mathbf {D} {\underline {u}},}
則系統轉移函數的極點也就是以下特徵方程的根
|
s
I
−
A
|
=
0.
{\displaystyle \left|s{\textbf {I}}-{\textbf {A}}\right|=0.}
全狀態回授是利用輸入向量
u
_
{\displaystyle {\underline {u}}}
來達成。考慮一輸入可以表示為一矩陣和狀態向量的乘積,
有狀態回授的系統(閉迴路)
u
_
=
−
K
x
_
{\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}
.
將輸入向量替換到原來的狀態方程:
x
_
˙
=
(
A
−
B
K
)
x
_
;
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}=(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} ){\underline {x}};}
y
_
=
(
C
−
D
K
)
x
_
.
{\displaystyle {\underline {y}}=(\mathbf {C} -\mathbf {D} \mathbf {K} ){\underline {x}}.}
全狀態回授系統的極點是矩陣
A
−
B
K
{\textstyle A-BK}
特徵方程的根,
det
[
s
I
−
(
A
−
B
K
)
]
=
0
{\displaystyle \det \left[s{\textbf {I}}-\left({\textbf {A}}-{\textbf {B}}{\textbf {K}}\right)\right]=0}
。比較方程式的項以及理想特徵方程的系數,可以得到回授矩陣
K
{\displaystyle {\textbf {K}}}
的值,也就是讓閉迴路特徵值在理想特徵方程極點上的對應矩陣。
全狀態回授的例子
考慮狀態方程如下的控制系統
x
_
˙
=
[
0
1
−
2
−
3
]
x
_
+
[
0
1
]
u
_
{\displaystyle {\dot {\underline {x}}}={\begin{bmatrix}0&1\\-2&-3\end{bmatrix}}{\underline {x}}+{\begin{bmatrix}0\\1\end{bmatrix}}{\underline {u}}}
控制前的系統其閉迴路極點在
s
=
−
1
{\displaystyle s=-1}
及
s
=
−
2
{\displaystyle s=-2}
。假設為了響應的考量,需讓閉迴路極點在
s
=
−
1
{\displaystyle s=-1}
及
s
=
−
5
{\displaystyle s=-5}
。理想特徵方程為
s
2
+
6
s
+
5
=
0
{\displaystyle s^{2}+6s+5=0}
。
依上述步驟,可得
K
=
[
k
1
k
2
]
{\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}k_{1}&k_{2}\end{bmatrix}}}
,而全狀態回授的系統特徵方程為
|
s
I
−
(
A
−
B
K
)
|
=
det
[
s
−
1
2
+
k
1
s
+
3
+
k
2
]
=
s
2
+
(
3
+
k
2
)
s
+
(
2
+
k
1
)
{\displaystyle \left|s\mathbf {I} -\left(\mathbf {A} -\mathbf {B} \mathbf {K} \right)\right|=\det {\begin{bmatrix}s&-1\\2+k_{1}&s+3+k_{2}\end{bmatrix}}=s^{2}+(3+k_{2})s+(2+k_{1})}
.
讓此特徵方程等於理想特徵方程,因此可得
K
=
[
3
3
]
{\displaystyle \mathbf {K} ={\begin{bmatrix}3&3\end{bmatrix}}}
.
因此,
u
_
=
−
K
x
_
{\displaystyle {\underline {u}}=-\mathbf {K} {\underline {x}}}
可以使閉迴路極點在理想位置上,讓響應也是理想值。
此作法只在單一輸入的系統有效。多重輸入的系統也會有K 矩陣,但不唯一。因此不一定可以很快找到最佳的K 值。此情形比較適合使用LQR控制器 。
相關條目
參考資料
外部連結