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四次方程

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四次方程,是未知數最高次數不超過四次的多項式方程。一個典型的一元四次方程的通式為:

其中

本篇只討論一元四次方程,並簡稱為四次方程。

四次方程的解法

數學家們為了解開四次方程——確切地說,找到解開四次方程的方法——做出了許多努力。像其它多項式一樣,有時可以對四次方程進行因式分解;但高次冪下的因式分解往往非常困難,尤其是當根是無理數或複數時。因此找到一個公式解(就像二次方程的求根公式那樣, 能解所有的一元二次方程)意義重大。經過諸多研究後,數學家們終於找到了四次方程的公式解。不過之後埃瓦里斯特·伽羅瓦證明,求根公式止步於四次方程,更高次冪的方程無法通過固定的公式求出。對於五次及以上的方程,需要一種更為有效的方式來求解。

由於四次方程的複雜性(參見下文),求解公式並不常用。如果只要求求解有理實根,可以使用試錯法,該方法對於任意次數的多項式求解都有效。或是使用魯菲尼法則求出,前提是所給的多項式的系數都是有理的。利用計算機編程,通過牛頓法等數值方法,可以輕易得到任意次方程的實數(數值)解。

特殊情況

名義上的四次方程

如果,那麼其中一個根為,其它根可以通過消去四次項,並解產生的三次方程,

雙二次方程

四次方程式中若 均為 者有下列形態:

因此它是一個雙二次方程式。解雙二次方程式非常容易,只要設 ,我們的方程式便成為:

這是一個簡單的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式來解:

當我們求得 z 的值以後,便可以從中得到 的值:

若任何一個 的值為負數或複數,那麼一些 的值便是複數。

費拉里的方法

開始時,四次方程首先要被轉化為低級的四次方程式。

轉變成減少次數的四次方程

要讓以下四次方程式變成標準的四次方程式,先在等式兩邊分別除以

第一步:消除 列。為了做到這一步,先把變量變成,其中

.

將變量替換:

展開後變成:

整理後變成以u為變量的表達式

現在改變表達式的系數,為

結果就是我們期望值的低級四次方程式,為

如果 那麼等式就變成了雙二次方程式,更加容易解決(解釋上面);利用反向替代,我們可以獲得我們要解決的變量 的值.

費拉里的解法

這種降低的四次方程的方法是被費拉里發現的,然而,這種方式曾經被發現過。接下來,利用一個恆等式

從方程 (1)和上式,得出:

結果把 配成了完全平方式:。左式中, 並不出現,但其符號已改變並被移到右邊。

下一步是在方程 左邊的完全平方中插入變量 ,相應地在右邊插入一項。根據恆等式

兩式相加,可得
的插入)

與等式(2)相加,得

也就是

現在我們需要尋找一個值,使得方程的右邊為完全平方。而這只要令二次方程的判別式為零。為此,首先展開完全平方式為二次式:

右邊的二次式有三個系數。可以驗證,把第二項系數平方,再減去第一與第三項系數之積的四倍,可得到零:

因此,為了使方程(3)的右邊為完全平方,我們必須解出下列方程:

把二項式與多項式相乘,

兩邊除以,再把移動到右邊,

這是關於三次方程。兩邊除以

轉化嵌套的三次方程為降低次數的三次方程

方程是嵌套的三次方程。為了解方程,我們首先用換元法把它轉化為減少次數的三次方程:

方程變為

展開,得

合併同類項,得

這是嵌套的三次方程。

則此三次方程變為

解嵌套的降低次數的三次方程

方程的解(三個解中任何一個都可以)為

(由三次方程

則原來的嵌套三次方程的解為

注意
注意

配成完全平方項

的值已由式給定,現在知道等式的右邊是完全平方的形式

這對於平方根的正負號均成立,只要等式兩邊取相同的符號。的正負是多餘的,因為它將被本頁後面馬上將提到的另一個消去。

從而它可分解因式為:

.
註:若 。如果 則方程為雙二次方程,前面已討論過。

因此方程化為

.

等式兩邊各有一個乘起來的完全平方式。兩完全平方式相等。

如果兩平方式相等,則兩平方式的因子也相等,即有下式:

.

合併同類項,得

.
註: 中的下標 用來標記它們是相關的。

方程是關於二次方程。其解為

化簡,得

這就是降低次數的四次方程的解,因此原來的四次方程的解為

注意:兩個 來自等式的同一處,並且它們應有相同的符號,而 的符號是無關的。

費拉里方法的概要

給定一個四次方程

其解可用如下方法求出:

,求解 並代入 ,求得根
.
(平方根任一正負號均可)
(有三個複根,任一個均可)
兩個 必須有相同的符號, 的符號無關。為得到全部的根,對 ,,, 來求。二重根將得出兩次,三重根及四重根將得出四次(儘管有,是一種特殊的情況)。方程根的次序取決於立方根 的選取。(見對相對的注)

此即所求。

還有解四次方程的其他方法,或許更好些。費拉里首先發現這些迷宮般的解之一。他所解的方程是

它已經化為簡約的形式。它有一對解,可由上面給出的公式得到。

笛卡爾方法

此四次方程是下列兩個二次方程之積:

以及

由於

因此

則方程 變為

同時有(未知的)變量使方程 變為

方程 相乘,得

把方程 與原來的二次方程比較,可知

因此

方程的解為

這兩個解中的一個應是所求的實解。

歐拉的方法

寫出式子 ,令 , 把上式改寫為 , 再利用系數 造出另一式子: , 求出 的三根,並用 代表它們。 那麼 的四個根就是

合併來看 二次方程根的樣式為 ,其中 三次方程根的樣式為 ,其中 四次方程根的樣式為 ,其中 延伸這樣式,暗示了五次方程尋根的方向。

其它方法

化為雙二次方程

一個例子可見雙二次方程

埃瓦里斯特·伽羅瓦的理論和因式分解

求根公式

四次方程的求根公式可以通過上述的伽羅瓦理論和因式分解得到。[1]對於,有:[2]

[來源請求]

PlanetMath指出,這四個形式直接使用,即使是在計算機上也過於複雜。[2]這四個解的推導過程的最後幾步有較為簡單的中間形式可以採用。得到這些解需要用到三次方程的求根公式。[1]

參見

文獻

  1. ^ 1.0 1.1 The Quartic Formula Derivation. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-07-14). 
    Galois-theoretic derivation of the quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-01-18). 
  2. ^ 2.0 2.1 quartic formula. planetmath.org. [2021-07-14]. (原始內容存檔於2021-04-11).