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的图形
四次方程,是未知数最高次数不超过四次的多项式方程。一个典型的一元四次方程的通式为:
其中 ![{\displaystyle a\neq 0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/afa35d06866e48768602d3b73a20555a5c384625)
本篇只讨论一元四次方程,并简称为四次方程。
四次方程的解法
数学家们为了解开四次方程——确切地说,找到解开四次方程的方法——做出了许多努力。像其它多项式一样,有时可以对四次方程进行因式分解;但高次幂下的因式分解往往非常困难,尤其是当根是无理数或复数时。因此找到一个公式解(就像二次方程的求根公式那样, 能解所有的一元二次方程)意义重大。经过诸多研究后,数学家们终于找到了四次方程的公式解。不过之后埃瓦里斯特·伽罗瓦证明,求根公式止步于四次方程,更高次幂的方程无法通过固定的公式求出。对于五次及以上的方程,需要一种更为有效的方式来求解。
由于四次方程的复杂性(参见下文),求解公式并不常用。如果只要求求解有理实根,可以使用试错法,该方法对于任意次数的多项式求解都有效。或是使用鲁菲尼法则求出,前提是所给的多项式的系数都是有理的。利用计算机编程,通过牛顿法等数值方法,可以轻易得到任意次方程的实数(数值)解。
特殊情况
名义上的四次方程
如果
,那么其中一个根为
,其它根可以通过消去四次项,并解产生的三次方程,
![{\displaystyle ax^{3}+bx^{2}+cx+d=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/73a0b58f6b712c05eba52a928e03ccbea6aa13dd)
双二次方程
四次方程式中若
和
均为
者有下列形态:
![{\displaystyle ax^{4}+cx^{2}+e=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4b5b427ef146c511b003e455950792e29aa5d3d0)
因此它是一个双二次方程式。解双二次方程式非常容易,只要设
,我们的方程式便成为:
![{\displaystyle az^{2}+cz+e=0\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bad33b8b9d6575e96973cb01491322236eec5d3d)
这是一个简单的二次方程式,其根可用二次方程式的求根公式来解:
![{\displaystyle z={{-c\pm {\sqrt {c^{2}-4ae}}} \over {2a}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/7405e7c6ea4f44cd74ccbd56534e2bafe0f3a7a7)
当我们求得 z 的值以后,便可以从中得到
的值:
![{\displaystyle x_{1}=+{\sqrt {z_{1}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bb1b8aff3b316367e246a16888d5bb9852a8e3a)
![{\displaystyle x_{2}=-{\sqrt {z_{1}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ca21a8ff18cf928a3b90ec7eaad8551e52620ad9)
![{\displaystyle x_{3}=+{\sqrt {z_{2}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e515b3cbc53cf0426a77f6fa87d9af478e72e443)
![{\displaystyle x_{4}=-{\sqrt {z_{2}}}\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/98479f20d906db58859f8ef4a1f19df664dc5301)
若任何一个
的值为负数或复数,那么一些
的值便是复数。
费拉里的方法
开始时,四次方程首先要被转化为低级的四次方程式。
转变成减少次数的四次方程
要让以下四次方程式变成标准的四次方程式,先在等式两边分别除以
![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\qquad \qquad (1')}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/39a2caebeab53992af87f8800c8dfd0f20680efe)
![{\displaystyle x^{4}+{b \over a}x^{3}+{c \over a}x^{2}+{d \over a}x+{e \over a}=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8049b6396302809c8f66e2b4903250c18b8ca4fa)
第一步:消除
列。为了做到这一步,先把变量
变成
,其中
.
将变量替换:
展开后变成:
整理后变成以u为变量的表达式
![{\displaystyle u^{4}+\left({-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a}\right)u^{2}+\left({b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a}\right)u+\left({-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/eae26fb1baf62bb0fd5401c5922953caf09fe51e)
现在改变表达式的系数,为
![{\displaystyle \alpha ={-3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/94a4de79b6378eef23be3c871c2e81f923c31ee4)
![{\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e18ef79b2f6ab9a19b026a8ee36a55d6ae16440)
![{\displaystyle \gamma ={-3b^{4} \over 256a^{4}}+{b^{2}c \over 16a^{3}}-{bd \over 4a^{2}}+{e \over a}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5e6dc499c87a4aa359395aaa19364c2274ef839)
结果就是我们期望的低级四次方程式,为
![{\displaystyle u^{4}+\alpha u^{2}+\beta u+\gamma =0\qquad \qquad (1)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/586b5620d4cd7d3a53790a445d57dbb55024e385)
如果
那么等式就变成了双二次方程式,更加容易解决(解释上面);利用反向替代,我们可以获得我们要解决的变量
的值.
费拉里的解法
这种降低的四次方程的方法是被费拉里发现的,然而,这种方式曾经被发现过。接下来,利用一个恒等式
![{\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}-u^{4}-2\alpha u^{2}=\alpha ^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/47b2cbd4b5c1478a15a24610ecd43a4692836d5a)
从方程 (1)和上式,得出:
![{\displaystyle (u^{2}+\alpha )^{2}+\beta u+\gamma =\alpha u^{2}+\alpha ^{2}.\qquad \qquad (2)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/0cbb5951c46847c7c527dcf6785cf3abbfb5268a)
结果把
配成了完全平方式:
。左式中,
并不出现,但其符号已改变并被移到右边。
下一步是在方程
左边的完全平方中插入变量
,相应地在右边插入一项
。根据恒等式
![{\displaystyle {\begin{matrix}(u^{2}+\alpha +y)^{2}-(u^{2}+\alpha )^{2}&=&2y(u^{2}+\alpha )+y^{2}\ \ \\&=&2yu^{2}+2y\alpha +y^{2},\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/de1f6767156f0f45b1bf1cdf59156b483c02574f)
及
两式相加,可得
(
的插入)
与等式(2)相加,得
![{\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}+\beta u+\gamma =(\alpha +2y)u^{2}+(2y\alpha +y^{2}+\alpha ^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/fc328845c560ceee076f88a81d9b101aa027e9e8)
也就是
![{\displaystyle (u^{2}+\alpha +y)^{2}=(\alpha +2y)u^{2}-\beta u+(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma ).\qquad \qquad (3)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f3ba776efd0f18a76fa6b68f019a573b5bb90d1c)
现在我们需要寻找一个
值,使得方程
的右边为完全平方。而这只要令二次方程的判别式为零。为此,首先展开完全平方式为二次式:
![{\displaystyle (su+t)^{2}=(s^{2})u^{2}+(2st)u+(t^{2})\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/58af2a5f9898bca75cd36afb0c868fa3dd34e480)
右边的二次式有三个系数。可以验证,把第二项系数平方,再减去第一与第三项系数之积的四倍,可得到零:
![{\displaystyle (2st)^{2}-4(s^{2})(t^{2})=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e596055e32ab809cfd0d2425c5dda82670156c20)
因此,为了使方程(3)的右边为完全平方,我们必须解出下列方程:
![{\displaystyle (-\beta )^{2}-4(2y+\alpha )(y^{2}+2y\alpha +\alpha ^{2}-\gamma )=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/64963d2cc9d8c79facfc5cd863477104a4591d08)
把二项式与多项式相乘,
两边除以
,再把
移动到右边,
![{\displaystyle 2y^{3}+5\alpha y^{2}+(4\alpha ^{2}-2\gamma )y+\left(\alpha ^{3}-\alpha \gamma -{\beta ^{2} \over 4}\right)=0\qquad \qquad }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/66148d8aa7bb2e9719395958b3b5f76f2bfc60f4)
这是关于
的三次方程。两边除以
,
![{\displaystyle y^{3}+{5 \over 2}\alpha y^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )y+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.\qquad \qquad (4)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/654891db4436f684984cd4c1b73a98f5f68da49c)
转化嵌套的三次方程为降低次数的三次方程
方程
是嵌套的三次方程。为了解方程
,我们首先用换元法把它转化为减少次数的三次方程:
![{\displaystyle y=v-{5 \over 6}\alpha .}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4c0e3da80877441df8a84404fd23d99c2736f55b)
方程
变为
![{\displaystyle \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{3}+{5 \over 2}\alpha \left(v-{5 \over 6}\alpha \right)^{2}+(2\alpha ^{2}-\gamma )\left(v-{5 \over 6}\alpha \right)+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8698e1814d7468544931a39e183163dbc05589f0)
展开,得
![{\displaystyle \left(v^{3}-{5 \over 2}\alpha v^{2}+{25 \over 12}\alpha ^{2}v-{125 \over 216}\alpha ^{3}\right)+{5 \over 2}\alpha \left(v^{2}-{5 \over 3}\alpha v+{25 \over 36}\alpha ^{2}\right)+(2\alpha ^{2}-\gamma )v-{5 \over 6}\alpha (2\alpha ^{2}-\gamma )+\left({\alpha ^{3} \over 2}-{\alpha \gamma \over 2}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/bc9e026047648fd53bfc9371b01d089355bbda60)
合并同类项,得
![{\displaystyle v^{3}+\left(-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma \right)v+\left(-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}\right)=0.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9459451040f4f36e4d955bc7ed9a9a63d9c63428)
这是嵌套的三次方程。
记
![{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cc4027b50b5367dec3c00cb3bb142e6f36baa2)
![{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/da36e16579d77b7cfba3b0321ea07459e218a9aa)
则此三次方程变为
![{\displaystyle v^{3}+Pv+Q=0.\qquad \qquad (5)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/aa4e38b17cbbfffecafbee7bb099227a9f8c3bf6)
解嵌套的降低次数的三次方程
方程
的解(三个解中任何一个都可以)为
- 令
- (由三次方程)
![{\displaystyle v=U-{P \over 3U}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/977b779b036dd0ca569e2669f1ff9dc03dc0af34)
则原来的嵌套三次方程的解为
![{\displaystyle y=-{5 \over 6}\alpha -{P \over 3U}+U\qquad \qquad (6)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/827fce80a394343ff89fa4fe8496e6b33b2502d5)
- 注意
: ![{\displaystyle P=0\Longrightarrow {Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ad9a4b0792ae2b711b164a52012df545f33fa71b)
- 注意
: ![{\displaystyle \lim _{P\to 0}{P \over {\sqrt[{3}]{{Q \over 2}+{\sqrt {{Q^{2} \over 4}+{P^{3} \over 27}}}}}}=0}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d647920346ddd856fb99698ecc408f9b0abdc424)
配成完全平方项
的值已由
式给定,现在知道等式
的右边是完全平方的形式
- 这对于平方根的正负号均成立,只要等式两边取相同的符号。
的正负是多余的,因为它将被本页后面马上将提到的另一个
消去。
从而它可分解因式为:
.
- 注:若
则
。如果
则方程为双二次方程,前面已讨论过。
因此方程
化为
.
等式
两边各有一个乘起来的完全平方式。两完全平方式相等。
如果两平方式相等,则两平方式的因子也相等,即有下式:
.
对
合并同类项,得
.
- 注:
及
中的下标
用来标记它们是相关的。
方程
是关于
的二次方程。其解为
![{\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {(\alpha +2y)-4(\alpha +y\pm _{s}{\beta \over 2{\sqrt {\alpha +2y}}})}} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/24fc7c65ff99d35f59a0424c753440f9b74c4379)
化简,得
![{\displaystyle u={\pm _{s}{\sqrt {\alpha +2y}}\pm _{t}{\sqrt {-\left(3\alpha +2y\pm _{s}{2\beta \over {\sqrt {\alpha +2y}}}\right)}} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f10311bf789e6006c975705e172861ef779912b)
这就是降低次数的四次方程的解,因此原来的四次方程的解为
- 注意:两个
来自等式
的同一处,并且它们应有相同的符号,而
的符号是无关的。
费拉里方法的概要
给定一个四次方程
![{\displaystyle ax^{4}+bx^{3}+cx^{2}+dx+e=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/acb2377cc4d3c046019c429b2259f7f6a20eee34)
其解可用如下方法求出:
![{\displaystyle \alpha =-{3b^{2} \over 8a^{2}}+{c \over a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/34b086a890113fdcef41fa67fc2df3b854736716)
![{\displaystyle \beta ={b^{3} \over 8a^{3}}-{bc \over 2a^{2}}+{d \over a},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e18ef79b2f6ab9a19b026a8ee36a55d6ae16440)
- 若
,求解
并代入
,求得根
.
![{\displaystyle P=-{\alpha ^{2} \over 12}-\gamma ,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07cc4027b50b5367dec3c00cb3bb142e6f36baa2)
![{\displaystyle Q=-{\alpha ^{3} \over 108}+{\alpha \gamma \over 3}-{\beta ^{2} \over 8},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/53e2b19452ffde9cdd5dc67f5bdb2cb14982198f)
(平方根任一正负号均可)
(有三个复根,任一个均可)
![{\displaystyle y={\displaystyle -{5 \over 6}\alpha +{\begin{cases}U=0&\to -{\sqrt[{3}]{Q}}\\U\neq 0,&\to U-{P \over 3U},\end{cases}}\quad \quad \quad },}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c83aa8702efb5642ecdccc7fc7c6637bfbd4e0d0)
- 两个
必须有相同的符号,
的符号无关。为得到全部的根,对
,
,
,
,
及
及
及
来求
。二重根将得出两次,三重根及四重根将得出四次(尽管有
,是一种特殊的情况)。方程根的次序取决于立方根
的选取。(见对
相对
的注)
此即所求。
还有解四次方程的其他方法,或许更好些。费拉里首先发现这些迷宫般的解之一。他所解的方程是
,
它已经化为简约的形式。它有一对解,可由上面给出的公式得到。
笛卡尔方法
![{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})(x-x_{3})(x-x_{4})=0\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2c0e61614001d49032028f9e6a7719d79640d3b7)
此四次方程是下列两个二次方程之积:
![{\displaystyle (x-x_{1})(x-x_{2})=0\qquad \qquad (9)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e122d668022be4f63ca360cc5b54bced25544231)
以及
![{\displaystyle (x-x_{3})(x-x_{4})=0.\qquad \qquad (10)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f5857d4ccc656ec67838a34742450edd6fe36355)
由于
![{\displaystyle x_{2}=x_{1}^{\star }}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8dbef95ca8e322297cb8f3a5114d7de438234341)
因此
![{\displaystyle {\begin{matrix}(x-x_{1})(x-x_{2})&=&x^{2}-(x_{1}+x_{1}^{\star })x+x_{1}x_{1}^{\star }\qquad \qquad \qquad \quad \\&=&x^{2}-2\,\mathrm {Re} (x_{1})x+[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}.\end{matrix}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4131effe57fcd4a6546cfa6729e5ab5612835aee)
设
![{\displaystyle a=-2\,\mathrm {Re} (x_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d9ed678c2c1191c001775fdbf35e38749acf0869)
![{\displaystyle b=[\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\,}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9ac6a99497691afdf2ab768747519551aaf56e09)
则方程
变为
![{\displaystyle x^{2}+ax+b=0.\qquad \qquad (11)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e2372abf511eb632c4e85a3d8c5e42801b79542c)
同时有(未知的)变量
和
使方程
变为
![{\displaystyle x^{2}+wx+v=0.\qquad \qquad (12)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5f15fb958888e3a113bc712c1d3ea305a21ae0a9)
方程
与
相乘,得
![{\displaystyle x^{4}+(a+w)x^{3}+(b+wa+v)x^{2}+(wb+va)x+vb=0.\qquad \qquad (13)}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5e3d8a1ec38e51c61cac0e9423cee4e2aa8f36da)
把方程
与原来的二次方程比较,可知
![{\displaystyle a+w={B \over A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9bcdc7177856955f642612732d8d088a288ab264)
![{\displaystyle b+wa+v={C \over A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/533a21d8e2bc922a4cd6d38a39bbe0e69fe01a04)
![{\displaystyle wb+va={D \over A},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e1cfb18b72c0835899ade35f2dd8513522922dd4)
及
![{\displaystyle vb={E \over A}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a1904527deb374c1945164eb83c543e17f78411e)
因此
![{\displaystyle w={B \over A}-a={B \over A}+2\mathrm {Re} (x_{1}),}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/70cf8c7b18ce63391052cb5399e4a645a7fb2d0e)
![{\displaystyle v={E \over Ab}={E \over A\left([\mathrm {Re} (x_{1})]^{2}+[\mathrm {Im} (x_{1})]^{2}\right)}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5fff813d15d6966b593bb4e80f773bed537f2e9f)
方程
的解为
![{\displaystyle x_{3}={-w+{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d12deaf63b71d8d29685e753c131f52337098a19)
![{\displaystyle x_{4}={-w-{\sqrt {w^{2}-4v}} \over 2}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/3a421d785bf45973bc50f5fbfccbe4fbe1d8dc47)
这两个解中的一个应是所求的实解。
欧拉的方法
写出式子
,令
,
把上式改写为
,
再利用系数
造出另一式子:
, 求出
的三根,并用
代表它们。
那么
的四个根就是
合并来看
二次方程根的样式为
,其中
三次方程根的样式为
,其中
四次方程根的样式为
,其中
延伸这样式,暗示了五次方程寻根的方向。
其它方法
化为双二次方程
一个例子可见双二次方程。
求根公式
四次方程的求根公式可以通过上述的伽罗瓦理论和因式分解得到。[1]对于
,有:[2]
[来源请求]
PlanetMath指出,这四个形式直接使用,即使是在计算机上也过于复杂。[2]这四个解的推导过程的最后几步有较为简单的中间形式可以采用。得到这些解需要用到三次方程的求根公式。[1]
参见
文献