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換位子群

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抽象代數中,一個換位子群導群,是指由這個群的所有交換子所生成的子群,記作[G,G]、G′G(1) 。每個群都對應着一個確定的交換子群。在一個群G的所有正規子群中,交換子群G′是使得G對它的商群交換群的最小子群。在某種意義上,交換子群提供了群G的可交換程度。因為從交換子的定義:,如果x與y交換,那麼。一個群內可交換的元素越多,交換子就越少,交換子群也就越小。可交換群的交換子群為平凡群

定義

給定一個群GG的交換子群或導群: [G,G]、G′G(1)G的所有交換子所生成的子群:


類似地可以定義高階的導群。

可以證明,如果存在自然數 n 使得 ,那麼G可解群

商群是一個阿貝爾群,叫做G阿貝爾化子群,通常記作GabG的阿貝爾化子群就是G的一階同調群。

的群叫做完美群,這是與阿貝爾群相對的概念。完美群的阿貝爾化子群是單位群{e}。

性質

  1. 正規子群
  2. G對於自同構穩定:
  3. 如果H是G的子群,那麼
  4. 是一個滿同態,那麼
  5. 如果H是G的正規子群,那麼交換群,當且僅當
    證明:是一個滿同態,
    所以,是交換群
  6. ,所以 可交換。

交換子群的例子

參見