正規態射

在範疇論中，正規態射是一類可以自然地分解成單射與滿射的態射。使所有態射皆為正規態射的範疇稱為正規範疇。

定義

設${\mathcal {C}}$為一個有有限射影極限與歸納極限的範疇。設$f:X\to Y$為態射。設$p_{1},p_{2}:\;X\times _{Y}X\to X$為積的投影，而$i_{1},i_{2}:\;Y\to Y\sqcup _{X}Y$為上積的內射。定義：

• 上像：$\mathrm {Coim} (f):=\mathrm {Coker} (p_{1},p_{2})$
• 像：$\mathrm {Im} (f):=\mathrm {Ker} (i_{1},i_{2})$

根據極限性質，自然態射$X\to \mathrm {Coim} (f)$是滿射，而$\mathrm {Im} (f)\to Y$則是單射。此外還存在唯一一個態射$u:\;\mathrm {Coim} (f)\to \mathrm {Im} (f)$，使得合成態射

$X\longrightarrow \mathrm {Coim} (f){\stackrel {u}{\longrightarrow }}\mathrm {Im} (f)\longrightarrow Y$

正好是$f$。

若$u$為同構，則稱$f$為正規態射；正規態射可以寫成滿射與單射的合成。所有態射皆為正規態射的範疇稱為正規範疇。

性質

• 以下三個條件等價：
  • $f$為嚴格滿射
  • $\mathrm {Coim} (f)\to Y$為同構
  • 序列$X\times _{Y}X\Rightarrow X\rightarrow Y$正合
• 如果$f$同時是嚴格滿射與嚴格單射，則$f$為同構。
• $X\to \mathrm {Coim} (f)$恆為嚴格滿射。

例子

正規態射的重要特性在於它分解為滿射與單射，此分解在阿貝爾範疇中扮演關鍵角色。

對於集合範疇、群範疇以及一個環上的模範疇，嚴格性並不成問題。一旦引入額外結構，狀況將大大地複雜化：例如取${\mathcal {C}}$為拓撲向量空間範疇，${\mathcal {C}}$中存在所有有限的積與上積。${\mathcal {C}}$中的態射$f:X\to Y$即連續線性映射，其像$\mathrm {Im} (f)$是空間$f(X)$配與$Y$的子空間拓撲，上像$\mathrm {Coim} (f)$則是$f(X)$配與$f:X\to f(X)$的商拓撲；後者一般較前者為細。

文獻

• Masaki Kashiwara and Pierre Schapira, Categories and Sheaves, Springer. ISBN 3540279490

外部連結

• Categories, sites, sheaves and stacks /Pierre Schapira