弧長泛函以可求長曲線組成的向量空間(
的一個子集)為定義域,以實純量為輸出值。這是一個非線性泛函的例子。
黎曼積分是以從
到
的黎曼可積函數組成的向量空間為定義域的線性泛函。
泛函(functional)指以函數構成的向量空間為定義域,實數為值域為的「函數」,即某一個依賴於其它一個或者幾個函數確定其值的量,往往被稱為「函數的函數」。在泛函分析中,泛函也用來指一個從任意向量空間到純量域的映射。泛函中的一類特例線性泛函引發了對對偶空間的研究。泛函的應用可以追溯到變分法,其中通常需要尋找一個函數用來最小化某個特定泛函。在物理學上,尋找某個能量泛函的最小系統狀態是泛函的一個重要應用。
設
是由一些函數構成的集合。所謂
上的泛函就是
上的一個實值函數。
稱為該泛函的容許函數集。
函數的變換某種程度上是更一般的概念,參見算子。
例子
設在 xOy 平面上有一簇曲線
, 其長度為
。
顯然,
不同,
也不同,即
的數值依賴於整個函數
而改變。
和函數
之間的這種依賴關係就稱為泛函關係。
性質
對偶性
觀察映射
![{\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d208d1c27bb8871797bdc89a46ade5ae99232765)
是一個函數,在這裏,
是函數f的自變量。
同時,將函數映射至一個點的函數值
![{\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61528c89f50d354202abd30f454844f0d15985ed)
是一個泛函,在此
是一個參數
只要
是一個從向量空間至一個佈於實數的體的線性轉換,上述的線性映射彼此對偶,那麼在泛函分析上,這兩者都稱作線性泛函。
參見
參考資料
- Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
- Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556