弧长泛函以可求长曲线组成的向量空间(
的一个子集)为定义域,以实标量为输出值。这是一个非线性泛函的例子。
黎曼积分是以从
到
的黎曼可积函数组成的向量空间为定义域的线性泛函。
泛函(functional)指以函数构成的向量空间为定义域,实数为值域为的“函数”,即某一个依赖于其它一个或者几个函数确定其值的量,往往被称为“函数的函数”。在泛函分析中,泛函也用来指一个从任意向量空间到标量域的映射。泛函中的一类特例线性泛函引发了对对偶空间的研究。泛函的应用可以追溯到变分法,其中通常需要寻找一个函数用来最小化某个特定泛函。在物理学上,寻找某个能量泛函的最小系统状态是泛函的一个重要应用。
设
是由一些函数构成的集合。所谓
上的泛函就是
上的一个实值函数。
称为该泛函的容许函数集。
函数的变换某种程度上是更一般的概念,参见算子。
例子
设在 xOy 平面上有一簇曲线
, 其长度为
。
显然,
不同,
也不同,即
的数值依赖于整个函数
而改变。
和函数
之间的这种依赖关系就称为泛函关系。
性质
对偶性
观察映射
![{\displaystyle x_{0}\mapsto f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d208d1c27bb8871797bdc89a46ade5ae99232765)
是一个函数,在这里,
是函数f的自变量。
同时,将函数映射至一个点的函数值
![{\displaystyle f\mapsto f(x_{0})}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/61528c89f50d354202abd30f454844f0d15985ed)
是一个泛函,在此
是一个参数
只要
是一个从向量空间至一个布于实数的体的线性转换,上述的线性映射彼此对偶,那么在泛函分析上,这两者都称作线性泛函。
参见
参考资料
- Rowland, Todd. Functional. MathWorld.
- Lang, Serge, III. Modules, §6. The dual space and dual module, Algebra, Graduate Texts in Mathematics 211 Revised third, New York: Springer-Verlag: 142–146, 2002, ISBN 978-0-387-95385-4, MR1878556