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分裂引理

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數學中,更準確地是同調代數中,分裂引理splitting lemma)說在任何阿貝爾範疇中,關於短正合序列的下列陳述是等價的。

給定一個具有映射qr 的短正合序列:

我們寫出映射(可能不存在)的箭頭tu

下列陳述是等價的:

1.左分裂:存在一個映射t
BA 使得tqA恆等映射
2.右分裂:存在一個映射u
CB 使得ruC 的恆等映射;
3.直和
B 同構於AC直和qA 的自然內射而r 是到C 的投影。

如果上述陳述成立,短正合序列成為分裂的。

這使我們可改進第一同構定理

  • 這一同構定理說在上述短正合序列中
  • 如果序列分裂則,而第一同構定理恰是到C 的投影。

這是線性代數秩-零化度定理的形式)的一個範疇推廣。

證明

首先證明 (3)蘊含 (1)與 (2)。我們假設 (3)成立,取t 為直和到A 的自然投影,取uC 到直和的自然內射。

為了證明 (1)蘊含 (3),首先注意到B 中任何元素屬於集合 (ker t + im q)。這是因為對B 中任意bb = (b - qtb)) + qtb);qtb)顯然屬於im q,而 (b - qtb))屬於ker t,因為

tb - qtb))= tb)- tqtb)= tb)- (tq)tb)= tb)- tb)= 0.

然後,im q 與ker t 的交集為{0},因若存在a 屬於A 使得qa)= b 以及tb)= 0,則0 = tqa)= a;從而b = 0。

這就證明了B 是im q 與ker t 的直和。故對所有b 屬於Bb 可以惟一地等同於某個a 屬於Ak 屬於ker t,使得b = qa)+ k

由正合性,ker rq = A,故ker r = im q。子序列BC → 0蘊涵着r 是映上的;從而對任意c 屬於C 存在某個b = qa)+ k 使得c = rb)= r(qa)+ k) = rk)。故對任意c 屬於C,存在k 屬於ker t 使得c = rk),以及r(ker t)= C

如果rk)= 0,則k 屬於im q;因im q 與ker t 的交集 = {0},則k = 0。從而同態r : ker tC 的限制是一個同構;且ker t 同構於C

最後im q 同構於A,因為0 → AB 的正合性;故B 同構於AC 的直和,這就證明了 (3)。

類似地可證明 (2)蘊含 (3)。B 中任何元素屬於集合ker r + im u;因為對所有b 屬於Bb = (b - urb)) + urb),這屬於in ker r + im u。ker r 與im u 的交集是{0},因若rb)= 0以及uc)= b,則0 = ruc)= c

由正合性,im q = ker r,以及q 是一個內射,im q 同構於A,故A 同構於ker r。由於ru 是一個雙射,u 是一個內射,故im u 同構於C。所以BAC 的直和。

非阿貝爾群

這裏所述的形式,分裂引理在全群範疇中不成立,它不是一個阿貝爾範疇。

部分真

它是部分真的:如果一個群短正合序列是左分裂或是直和(條件1或3),則所有條件成立。對直和這是清楚的,因為直和給出的內射與投影。對一個左分裂序列,映射給出一個同構,故B 是一個直和(條件3),從而取此同構之逆並與自然內射複合給出一個分裂t 的內射(條件2)。

但是如果一個短正合序列是右分裂的(條件2),則未必是左正合的或是直和(條件1或條件3均未必成立):問題是右分裂的像不必是正規的。在此情形B 是一個半直積,一般不是一個直積。

反例

為了構造一個反例,取最小非阿貝爾群,三個字母的對稱群。設A 為交錯子群,令。令qr 分別表示包含映射與符號映射,從而

是一個短正合序列。條件 (3)不成立,因為不是阿貝爾群。但條件 (2)成立:我們通過將生成元映到任意二階循環定義u: CB。注意條件 (1)不成立:任何映射t: BA 必然將任何二階循環映為單位,由拉格朗日定理。但每個置換是兩個循環之乘積,故t 是平凡映射,從而tq: AA 是平凡映射,而不是恆等。

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