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同餘關係

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數學特別是抽象代數中,同餘關係或簡稱同餘是相容於某個代數運算的等價關係

模算術

元型例子是模算術:對於一個正整數n,如果a − b整除於n(還有一個等價的條件是它們除以n得出同樣的餘數),則兩個整數ab被稱為同餘模n

例如,5和11同餘模3:

11 ≡ 5 (mod 3)

因為11 − 5得出6,它整除於3。或者等價的說,這兩個數除以3得到相同的餘數:

11 = 3×3 + 2
5 = 1×3 + 2

如果並且,則並且。這把同餘(mod n)變成了在所有整數的環上的一個等價。

線性代數

兩個實數矩陣AB被稱為合同的,如果存在可逆實數矩陣P使得

對稱矩陣有實數特徵值。對稱矩陣的「慣性」是由正特徵值的數目、零特徵值的數目和負特徵值的數目組成的三元組。Sylvester慣性定律聲稱兩個對稱實數矩陣是合同的,若且唯若它們有相同的慣性。所以,全等變換可以改變矩陣的特徵值但不能改變特徵值的符號。

對於複數矩陣,必須區分「T合同」(ABT合同,如果有可逆矩陣P使得PTAP = B)和「*合同」(AB是*合同,如果有可逆矩陣P使得P*AP = B)。

泛代數

想法是推廣到泛代數中:代數A上的同餘關係是直積A×A子集,它既是在A上的等價關係又是A×A子代數

同態總是同餘。實際上,所有同餘引起自核。對於給定在A上的同餘~,等價類的集合A/~可以自然的方式給出自代數的結構商代數。映射所有A的元素到它的等價類的函數是同態,這個同態的核是~。

在一個代數上的所有同餘關係的代數格

群的同餘、正規子群和理想

的特殊情況下,同餘關係可以用基本術語描述為:如果G是群(帶有單位元e)並且~是在G上的二元關係,則~是同餘只要:

  1. 給定G任何元素aa ~ a自反關係)。
  2. 給定G任何的元素ab如果a ~ b,則b ~ a對稱關係)。
  3. 給定G的任何元素a,bc,如果a ~ b 並且b ~ c,則a ~ c傳遞關係)。
  4. 給定G的任何元素a,a',bb' ,如果a ~ a' 並且b ~ b' ,則a * b ~ a' * b'
  5. 給定G的任何元素aa' ,如果a ~ a' ,則a−1 ~ a' −1(這個條件可以從其他四個條件證明,所以嚴格上是冗餘的)。

條件1, 2和3聲稱~是等價關係

同餘~完全確定自G的同餘於單位元的那些元素的集合{aG : a ~ e},而這個集合是正規子群。特別是,a ~ b若且唯若b−1 * a ~ e。所以替代談論在群上同餘,人們通常以正規子群的方式談論它們;事實上,所有同餘都唯一的對應於G的某個正規子群。

環理想和一般情況的核

類似的技巧允許談論環中的核為理想來替代同餘關係,在模理論中為子模來替代同餘關係。

這個技巧不適用於么半群,所以同餘關係的研究在么半群理論扮演更中心的角色。

參見

引用

  • Horn and Johnson, Matrix Analysis, Cambridge University Press, 1985. ISBN 0-521-38632-2.(Section 4.5 discusses congruency of matrices.)