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完全格

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完全格又稱完備格,(英語:complete lattice),在數學中是代表所有子集都有上確界(併)和下確界(交)的偏序集。完全格出現於數學和電腦科學的很多應用中。作為的特殊實例,在序理論泛代數中都有所研究。

完全格一定不能混淆於完全偏序cpo),它構成嚴格的更加一般的一個偏序集合類別。更特殊的完全格是完全布林代數完全海廷代數locale)。

形式定義

偏序集合(L, ≤)是完全格,如果L的所有子集A在(L, ≤)中都有最大下界(下確界,交)和最小上界(上確界,併)二者。它們被表示為:

A(交)和A(併)。

注意在A空集的特殊情況下,L的任何元素都是空集的上界和下界,A的交將是L最大元素。類似的,空集的併生成最小元素。因為定義還確保了二元交和併的存在,完全格因為形成了特殊種類的有界格

上述定義的更多蘊涵在關於序理論中完備性性質的文章中討論。

例子

  • 給定集合的冪集,按包含排序。上確界給出自這些子集的併集而下確界給出自這些子集的交集
  • 單位區間[0,1]和擴充的實數軸,通過平常的全序和普通的上確界下確界。實際上,全序集合(帶有它的序拓撲)作為拓撲空間緊緻的,如果它作為一個格是完全的。
  • 非負整數整除排序。這個格最小元是1,因為它可以整除任何其他數。可能令人驚奇的是,最大元是0,因為它可以被任何數整除。有限集合的上確界給出自最小公倍數而下確界給出自最大公因數。對於無限集合,上確界將總是0而下確界可以大於1。例如,所有偶數的集合有2作為最大公因數。如果從這個結構中去掉0它仍是格但不再是完全的。
  • 任何給定群的子群在包含關係下。(儘管這裏的下確界是平常的集合論交集,但子群的集合的上確界是子群的集合論併集所生成的子群,而不是集合論併集自身)。如果eG的單位元素,則平凡的群{e}是G極小子群。而極大子群是群G自身。
  • 的子模按包含排序。上確界給出自子模的和而下確界給出自交集。
  • 環的理想子環按包含排序。上確界給出自理想子環的和而下確界給出自交集。
  • 拓撲空間的開集按包含排序。上確界給出自開集的併而下確界給出自交集的內部
  • 實數複數向量空間凸集按包含排序。下確界給出自凸集的交集而上確界給出自併集的凸包
  • 在集合上拓撲按包含排序。下確界給出自拓撲的交集,而上確界給出自拓撲的併集所生成的拓撲。
  • 在集合上的所有遞移關係的格。
  • 多重集的子多重集的格。
  • 在集合上的所有等價關係的格;等價關係~被認為比≈更小(或"更細"),如果x~y總是蘊涵xy

參見