希爾伯特第十四問題

希爾伯特第十四問題是希爾伯特的23個問題之一。它探討某些有理函數域中的子環的有限性問題。令$k$為一個域，$k\subset K\subset k(X_{1},\ldots ,X_{n})$。令$R:=k[X_{1},\ldots ,X_{n}]\cap K$，希爾伯特猜想$R$是有限生成的$k$-代數。

歷史

此問題源自不變量理論。具體而言，假設群$G$作用於n維仿射空間$\mathbb {A} _{k}^{n}$，或者等價地說，作用於多項式環$k[X_{1},\ldots ,X_{n}]$。為了研究商空間$\mathbb {A} _{k}^{n}/G$，必須考慮：

$R:=k[X_{1},\ldots X_{n}]^{G}=\{f\in k[X_{1},\ldots X_{n}]:\forall g\in G,g\cdot f=f\}$

希爾伯特本人證明了$G$是某些半單李群的情形，包括$GL_{n}$。美國猶太人數學家奧斯卡·扎里斯基（Oscar Zariski）在1954年證明了$n=1,2$的情形。對於一般的狀況，日本數學家永田雅宜（永田 雅宜）藉着考慮某些線性代數群的作用而在1959年造出反例。

基於美國數學家蒙福德（David Bryant Mumford）提出的假設，可以推出：若$k$是代數封閉域，且$G$是定義在$k$上的可約群，則$R$是有限生成的。此假設已在1975年由美國數學家威廉·哈伯什（William J. Haboush）證明，並由印度數學家C. S. 瑟哈里（C. S. Seshadri）推廣。

參考文獻

• W.J. Haboush, Reductive groups are geometrically reductive Ann. of Math. , 102 (1975) pp. 67–83
• D. Mumford, Geometric invariant theory（1965）, Springer ISBN 3-54-056963-4
• D. Mumford, Hilbert's fourteenth problem - the finite generation of subrings such as rings of invariants F.E. Browder（ed.）, Mathematical developments arising from Hilbert problems , Proc. Symp. Pure Math. , 28 , Amer. Math. Soc.（1976） pp. 431–444
• C.S. Seshadri, Geometric reductivity over arbitrary base Adv. Math. , 26 (1977) pp. 225–274