提示:此條目頁的主題不是
整數環。
整環(Integral domain),又譯作整域,是抽象代數中的一個概念,指含乘法單位元素的無零因子的交換環。一般假設環中乘法單位元素1不等於加法單位元素0,以除去平凡的環
。整環是整數環的抽象化,它很好地繼承了整數環的整除性質,使得我們能夠更好地研究整除理論。
整環也可以定義為理想
是質理想的交換環,或交換的無零因子環。
形式定義
設
是一個交換環,存在
,
(0為加法單位元素),使得
(存在乘法單位元素)
並且對任意的
,如果
,那麼或者
,或者
。用數學方式表示為:
(沒有零因子)
就稱其為整環[1]:19。
定義中的無零因子性質也可以用環中乘法的消去律替代:如果
,並且
,那麼
[2]:119。用數學方法表示就是:
![{\displaystyle \forall (a,b,c)\in {\mathcal {R}}^{3},\ (a\times c=b\times c\;\;\land \;\;c\neq 0)\quad \Rightarrow \quad a=b.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c414848295dad9e0190c267f222de0353b417a99)
例子
- 整環的代表性例子是整數環
。
是一個交換環,並且乘法單位元素1不等於加法單位0。最後,兩個整數相乘等於0,則必然有其中一個等於0。
- 多項式環是整環當且僅當其系數構成整環。比如整系數一元多項式環
和實系數二元多項式環
。
- 每個域都是整環[2]:122。相對的,每個阿廷整環都是域。特別地,每個有限的整環都是有限體。整數環
就是一個非阿廷整環不是域的例子,因為它有無窮遞降的理想列:
![{\displaystyle \mathbb {Z} \;\supset \;2\mathbb {Z} \;\supset \;\ldots \;\supset \;2^{n}\mathbb {Z} \;\supset \;2^{n+1}\mathbb {Z} \;\supset \;\cdots }](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e5c304715aeb75565865b4867b57e81ad521e533)
- 對每個整數
,
是實數體
的子環,因此是整環。
是複數域
的子環,因此是整環。當
時,後者被稱為高斯整數環。
- 若
是一個交換環,
是
的一個理想,那麼商環
是整環當且僅當P是質理想。由此可推出
是整環當且僅當
是質理想。
整除、質元素、不可約元素
在整環上可以定義類似於整數環里的整除性質。
a與b是R中的兩個元素,定義a整除b或a是b的因數或b是a的倍數,當且僅當存在R中的一個元素x使得ax = b。
整除關係滿足遞移性,即a整除b,b整除c推出a整除c。a整除b,則a整除b的所有倍數。a的兩個倍數的和與差仍是a的倍數。
1的因數稱為R的可逆元素。可逆元素整除所有元素。
若a整除b並且b整除a,則稱a與b相伴。a與b相伴當且僅當存在可逆元素u使得au = b。
非可逆元素q稱為不可約元素,如果q不能寫成兩個非可逆元素的乘積。
如果p不是零元素或可逆元素,且對任意a,b,如果p整除ab可推出p整除a或p整除b,則稱p為質元素。
這兩個定義是整數環中質數的推廣。如果p是質元素,那麼p生成的主理想是質理想。每個質元素都是不可約元素,但反過來則只有當R是唯一分解環才正確。
參考資料