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請問如何證明$2^{588}-1$是$7^{3}$的倍數？

用計算機處理，如果(2^588-1)/7^3是整數，便是7^3的倍數。

我帮您算了一下，结果是2953543219923720569259409524510761181652352518057797544588861478184139430292317949207725132539947466038398930246757202763106489228844842927469975125272133724813767770730659840，因此是倍数:-)

請問能否用筆算？

歐拉定理:$2^{\varphi (7^{3})}\equiv 1{\pmod {7^{3}}}$

⇒$2^{294}\equiv 1{\pmod {7^{3}}}$

⇒$2^{294}-1\equiv 0{\pmod {7^{3}}}$

⇒$2^{588}-1\equiv 0{\pmod {7^{3}}}$

請問您的294是$7^{3}\times (1-{\frac {1}{7}})=294$這樣算出來的嗎？

嗯

不過我當初看到的方法是用二項式定理，雖然比較慢一點，但也不失為一個方法。