数字和

一个整数的数字和，是将一数在特定记数系统中的每一个位数相加起来所得的和。例如，84001在十进制中的数字和是13，即 ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$ 。

这个概念与数字根有密切的关系，但并不相同，数字根是把所有数字相加起来所得的和，然后再把这个和的所有数字相加起来，又得到一个和，重复这个步骤，直到最终只剩下一个数字，这个数字便称为数字根。数字和可以是任意正整数的值，而数字根只能是0到9。

在十进制中，数字和可以用来判断一个数是否能被3或9整除。如果数字和能被3或9整除，则原来的数也能被3或9整除。可参照去九法、整除规则。

定义

任何自然数都可以在底数为b下的进位制中表示，其中b的绝对值必须大于一。若有一自然数n，其于b进位制中表示为 ${\textstyle d_{k-1}d_{k-2}...d_{2}d_{1}d_{0}}$ ，则其数字和（或位数和） ${\textstyle F_{b}}$ 为将自然数映射到自然数的函数 ${\textstyle F_{b}:\mathbb {N} \rightarrow \mathbb {N} }$ ，其可以定义为：

F_{b}(n)=\sum _{i=0}^{k-1}d_{i}

其中 $k=\lfloor \log _{b}{n}\rfloor +1$ ，代表自然数n在底数为b的进位制表示时的位数个数。而每个位数 ${\textstyle d_{i}}$ 又可以表示成：

d_{i}={\frac {n{\bmod {b^{i+1}}}-n{\bmod {b}}^{i}}{b^{i}}}

举例来说，84001在十进制中的数字和可以表示为 $F_{10}(84001)=\,$ ${{{{{8}+{4}}+{0}}+{0}}+{1}}=13$

此外，一个足够大的数在较大底数进位制下的数字和不会小于较小底数进位制下的数字和，即两底数 $b_{1}$ 、 $b_{2}$ ，若 $2\leq b_{1}\leq b_{2}$ ，且有一个足够大的自然数n，则满足不等式 ${\textstyle F_{b_{1}}(n)\leq F_{b_{2}}(n)}$ ^[1]。

一般单个位的数（如十进制的0至9）其数字和即为自己本身。十进制下前几个非负整数的数字和为：

0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10...（OEIS数列A007953）

彼得·波尔文（英语：Peter_Borwein）和乔纳森·波尔文（英语：Jonathan Borwein）使用此数列的母函数导出了许多快速收敛之有理和超越级数。^[2]

扩展到负整数

负整数的数字和目前没有一个广泛被接受的定义。一般可以透过负整数的有符号数表示法（英语：Signed-digit_representation）来将自然数的数字和推广到负数。

另一种适用于负数的数字和为仅将最高位数代负号，其他位数照样相加的数字和，例如负一百五十八（ $-158$ ）可以拆成 $-1,\,5,\,8$ ，对应的数字和为 ${{{-{1}}+{5}}+{8}}=12$ ^[3]，这个数列为数字差（OEIS数列A274580）的相反数。

用途

数字和虽与数字根不同，但皆可以用于3和9的整除判断^[4]。数字和与数字根不同之处在于，数字根必为0至9之间的自然数，而数字和可以是任意整数。两者用于判断3或9的倍数的方法皆是若一数的数字和或数字根能被3或9整除，则其为3或9的倍数^[4]。特别地，对于判定9的倍数，此规则称为“九的规则”，为去九法的基础^[5]。

在早期的电脑中，亦常使用数字和作为检查计算机计算结果的一种常见方式^[6]。此外数字和亦可以作为生成随机数的一种方式。假设所使用的数表中每个数字都是随机的，则根据中心极限定理，这些数的数字和可以视为具有接近高斯分布的随机分布。而早期在计算机还没被发明、使用手工计算时Edgeworth曾于1888年建议可以透过取对数的数学用表中50位数字之和作为随机数生成的一种方式^[7]。

列表

下表列出了数字和为特定数的自然数：

数字和	数	OEIS	哈沙德数	素数
1	1, 10, 100, 1000, 10000, 100000, …	A011557
2	2, 11, 20, 101, 110, 200, 1001, …	A052216	A069537	2,11,101
3	3, 12, 21, 30, 102, 111, 120, 201, 210, 300, 1002, …	A052217
4	4, 13, 22, 31, 40, 103, 112, 121, 130, 202, 211, …	A052218	A063997	A062339
5	5, 14, 23, 32, 41, 50, 104, 113, 122, 131, 140, 203,	A052219	A069540	A062341
6	6, 15, 24, 33, 42, 51, 60, 105, 114, 123, 132, 141, 150, …	A052220	A062768
7	7, 16, 25, 34, 43, 52, 61, 70, 106, 115, 124, 133, 142, …	A052221	A063416	A062337
8	8, 17, 26, 35, 44, 53, 62, 71, 80, 107, 116, 125, 134, …	A052222	A069543	A062343
9	9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 81, 90, 108, 117, 126, 135, …	A052223
10	19, 28, 37, 46, 55, 64, 73, 82, 91, 109, 118, 127, 136, …	A052224	A218292	A107579
11	29, 38, 47, 56, 65, 74, 83, 92, 119, 128, 137, 146, 155, …	A166311	A216995	A106754
12	39, 48, 57, 66, 75, 84, 93, 129, 138, 147, 156, 165, …	A235151