水仙花数

在数论中，水仙花数（Narcissistic number）^[1]^[2]，也被称为超完全数字不变数（pluperfect digital invariant, PPDI）^[3]、自恋数、自幂数、阿姆斯壮数或阿姆斯特朗数（Armstrong number）^[4] ，用来描述一个N位非负整数，其各位数字的N次方和等于该数本身。

水仙花数的定义

设有自然数n，d为该自然数各位数字，即 n = d_kd_k-1...d₁ ，则有：

n = d_k·10^k-1 + d_k-1·10^k-2 + ... + d₂·10 + d₁,

如果该自然数n满足条件：

n = d_k^k + d_k-1^k + ... + d₂^k + d₁^k.

则这个自然数就被称为超完全数字不变数。例如153、370、371及407就是三位超完全数字不变数，其各个数之立方和等于该数：

153 = 1³ + 5³ + 3³。

370 = 3³ + 7³ + 0³。

371 = 3³ + 7³ + 1³。

407 = 4³ + 0³ + 7³。

若将条件放宽，一个N位数，其各个数之M次方和等于该数，M和N不一定相等，这样的数称为完全数字不变数（perfect digital invariant）^[5]^[2]，例如数字4150等于各位数字的5次方。

4150 = 4⁵ + 1⁵ + 5⁵ + 0⁵,

水仙花数一定是完全数字不变数，但完全数字不变数不一定是水仙花数。严格意义来说水仙花数指三位数。

部分水仙花数

十进制下的水仙花数

十进制的水仙花数共有89个，最大的是

115,132,219,018,763,992,565,095,597,973,971,522,401

共有39位数。^[6]

完整的十进制水仙花数列表如下：（OEIS数列A005188）

0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
153
370
371
407
1634
8208
9474
54748
92727
93084
548834
1741725
4210818
9800817
9926315
24678050
24678051
88593477
146511208
472335975
534494836
912985153
4679307774
32164049650
32164049651
40028394225
42678290603
44708635679
49388550606
82693916578
94204591914
28116440335967
4338281769391370
4338281769391371
21897142587612075
35641594208964132
35875699062250035
1517841543307505039
3289582984443187032
4498128791164624869
4929273885928088826
63105425988599693916
128468643043731391252
449177399146038697307
21887696841122916288858
27879694893054074471405
27907865009977052567814
28361281321319229463398
35452590104031691935943
174088005938065293023722
188451485447897896036875
239313664430041569350093
1550475334214501539088894
1553242162893771850669378
3706907995955475988644380
3706907995955475988644381
4422095118095899619457938
121204998563613372405438066
121270696006801314328439376
128851796696487777842012787
174650464499531377631639254
177265453171792792366489765
14607640612971980372614873089
19008174136254279995012734740
19008174136254279995012734741
23866716435523975980390369295
1145037275765491025924292050346
1927890457142960697580636236639
2309092682616190307509695338915
17333509997782249308725103962772
186709961001538790100634132976990
186709961001538790100634132976991
1122763285329372541592822900204593
12639369517103790328947807201478392
12679937780272278566303885594196922
1219167219625434121569735803609966019
12815792078366059955099770545296129367
115132219018763992565095597973971522400
115132219018763992565095597973971522401

十二进制下的水仙花数

（OEIS数列A161949）

25:2²+5²=25

A5:A²+5²=A5

577:5³+7³+7³=577

668:6³+6³+8³=668

A83:A³+8³+3³=A83

14765:1⁵+4⁵+7⁵+6⁵+5⁵=14765

938A4:9⁵+3⁵+8⁵+A⁵+4⁵=938A4

显然，任何一位数（从1到B）都是水仙花数，另外，在十二进制中，不存在四位数的水仙花数。

三进制中的这样的数有：0、1、2、12、122
四进制中的这样的数有：0、1、2、3、313

参考资料

^ Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.
^ ^2.0 ^2.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的存档，存档日期2007-10-10. by Scott Moore
^ PPDI (Armstrong) Numbers by Harvey Heinz
^ Armstrong Numbersl^{[永久失效链接]} by Dik T. Winter
^ PDIs by Harvey Heinz
^ Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始内容存档于2018-01-20）（英语）.

Rose, Colin (2005), Radical narcissistic numbers, Journal of Recreational Mathematics, 33(4), 2004-2005, pages 250-254.
Perfect Digital Invariants by Walter Schneider
On a curious property of 3435 （页面存档备份，存于互联网档案馆） by Daan van Berkel

[mw-1] Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. （英语）.

[moore-2] 2.0 ^2.1 Perfect and PluPerfect Digital Invariants 互联网档案馆的存档，存档日期2007-10-10. by Scott Moore

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[4] Armstrong Numbersl^{[永久失效链接]} by Dik T. Winter

[5] PDIs by Harvey Heinz

[6] Weisstein, Eric W. (编). Narcissistic Number. at MathWorld--A Wolfram Web Resource. Wolfram Research, Inc. [2019-06-10]. （原始内容存档于2018-01-20）（英语）.

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