综合除法是一种简便的多项式除法,只需加、乘两种运算。一般的综合除法可计算除式为一次多项式时的多项式除法。
被除数的未知数应是降幂排列,抽取系数用以计算。如果除式中的首项系数不是
,使用综合除法前应先提取除式的首项系数。
一般的综合除法
设被除式为
![{\displaystyle F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bb401a8f3436243bfd8ba50866f49203f86fb4)
设除式为
![{\displaystyle G(x)=x-r\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220490f1119fa7fc6c74f65b4571be1e44226fd0)
设商为
![{\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd87588f4d0ee94a8f580926da4fbd8bf318cb)
另外有一个余数s
1. 分离
的系数,按降幂写下,再把
写在左边,像这样:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb841248eb742e12a4613a160aff5ecdb5e9eae7)
2. 把最左边的系数
直接拖下来,它就是商的最高次项系数:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04eaec4a1bf3134494153594bd8d5e7d4b4ab51)
3. 把下边的最左边一个数乘上
,写到行上边的右边一位:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d02e0f1ce6d5305ca27b419555cec0ec5e8fd8)
4. 上下两数相加,写到这一列的行下:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&~&~&~\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1431c5bceb75020f2f565fd79055f70aad722170)
5. 重复第3,4步,直到没有剩下的数了:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&\cdots &b_{1}r&b_{0}r\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e7a365ab866fb4ef529b435701aa601b9793e8)
b的值是商
的系数,商的次数比被除式的次数少
。最后的
是余数。
例如
除以
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&2&5&3\\{\dfrac {3}{2}}&~&3&12\\\hline ~&2&8&15\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efd47930e99e8ead24a16cc89b2d2655b1f7068)
因为除数用的是3/2,而不是3,所以还需将所得的系数除以2,
故商式为
,余式为
。
推广的综合除法
推广的综合除法可计算除式为任意多项式的多项式除法。[1]
例如
除以
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&1&-12&0&-42\\3&~&~&3&-39\\-1&~&-1&13&~\\\hline ~&1&-13&16&-81\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8100038e9587b4d9dd1a63773cb1ccd27eb40fb9)
商式为
,余式为
。
参考资料
- ^ 董祥春 张风霞 王文省. 综合除法的推广和应用. 《聊城大学学报(自然科学版)》. 2003, (4) [2016-06-17]. (原始内容存档于2016-08-09).