綜合除法是一種簡便的多項式除法,只需加、乘兩種運算。一般的綜合除法可計算除式為一次多項式時的多項式除法。
被除數的未知數應是降冪排列,抽取係數用以計算。如果除式中的首項係數不是
,使用綜合除法前應先提取除式的首項係數。
一般的綜合除法
設被除式為
![{\displaystyle F(x)=a_{n}x^{n}+a_{n-1}x^{n-1}+\cdots +a_{1}x+a_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/42bb401a8f3436243bfd8ba50866f49203f86fb4)
設除式為
![{\displaystyle G(x)=x-r\,\!}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/220490f1119fa7fc6c74f65b4571be1e44226fd0)
設商為
![{\displaystyle Q(x)=b_{n-1}x^{n-1}+b_{n-2}x^{n-2}+\cdots +b_{1}x+b_{0}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/81cd87588f4d0ee94a8f580926da4fbd8bf318cb)
另外有一個餘數s
1. 分離
的係數,按降冪寫下,再把
寫在左邊,像這樣:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline \end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/cb841248eb742e12a4613a160aff5ecdb5e9eae7)
2. 把最左邊的係數
直接拖下來,它就是商的最高次項係數:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&~&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/d04eaec4a1bf3134494153594bd8d5e7d4b4ab51)
3. 把下邊的最左邊一個數乘上
,寫到行上邊的右邊一位:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&~&~&~&~\\~&=b_{n-1}&~&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/14d02e0f1ce6d5305ca27b419555cec0ec5e8fd8)
4. 上下兩數相加,寫到這一列的行下:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&~&~&~\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&~&~&~\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&~&~&~\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1431c5bceb75020f2f565fd79055f70aad722170)
5. 重複第3,4步,直到沒有剩下的數了:
![{\displaystyle {\begin{array}{c|ccccc}~&a_{n}&a_{n-1}&\cdots &a_{1}&a_{0}\\r&~&b_{n-1}r&\cdots &b_{1}r&b_{0}r\\\hline ~&a_{n}&a_{n-1}+b_{n-1}r&\cdots &a_{1}+b_{1}r&a_{0}+b_{0}r\\~&=b_{n-1}&=b_{n-2}&\cdots &=b_{0}&=s\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f2e7a365ab866fb4ef529b435701aa601b9793e8)
b的值是商
的係數,商的次數比被除式的次數少
。最後的
是餘數。
例如
除以
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&2&5&3\\{\dfrac {3}{2}}&~&3&12\\\hline ~&2&8&15\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/2efd47930e99e8ead24a16cc89b2d2655b1f7068)
因為除數用的是3/2,而不是3,所以還需將所得的係數除以2,
故商式為
,餘式為
。
推廣的綜合除法
推廣的綜合除法可計算除式為任意多項式的多項式除法。[1]
例如
除以
![{\displaystyle {\begin{array}{c|cccc}~&1&-12&0&-42\\3&~&~&3&-39\\-1&~&-1&13&~\\\hline ~&1&-13&16&-81\\\end{array}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/8100038e9587b4d9dd1a63773cb1ccd27eb40fb9)
商式為
,餘式為
。
參考資料
- ^ 董祥春 張風霞 王文省. 综合除法的推广和应用. 《聊城大學學報(自然科學版)》. 2003, (4) [2016-06-17]. (原始內容存檔於2016-08-09).