进位制

进位制又称进制，是一种记数方式，亦称位置记法（positional notation）、数字命位法、定位记法、进位记数法、位值记数法（place-value notation）、位置数值系统（positional numeral system）；利用这种“记数法”，可以使用有限种“数字符号”来表示所有的数值。

一种进位制中可以使用的数字符号的数目，称为这种进位制的 基数 或 底数。若一个进位制的基数为 $n$，即可称之为 $n$进位制，简称 $n$进制。现在最常用的进位制是十进制，这种进位制通常使用10个阿拉伯数字（即 0-9 ）进行记数。

我们可以用不同的进位制来表示同一个数。比如：十进数57₍₁₀₎，可以用二进制表示为111001₍₂₎，也可以用五进制表示为212₍₅₎，同时也可以用八进制表示为71₍₈₎，可用十二进制表示为49₍₁₂₎，亦可用十六进制表示为39₍₁₆₎，它们所代表的数值都是一样的。

在10进制中有10个数字（0 - 9），比如：

$2506=2\times 10^{3}+5\times 10^{2}+0\times 10^{1}+6\times 10^{0}$.

在16进制中有16个数字（0–9 和 A–F），比如：

$171B=1\times 16^{3}+7\times 16^{2}+1\times 16^{1}+B\times 16^{0}$ (16进制中A代表10,B代表11,C代表12,D代表13,E代表14,F代表15）

一般说来，$b$进制有$b$个数字，如果$a_{3},a_{2},a_{1},a_{0}$是其中四个数字，那么就有

$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}=a_{3}\times b^{3}+a_{2}\times b^{2}+a_{1}\times b^{1}+a_{0}\times b^{0}$ (注意，$a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}$ 表示一个数字序列, 而不是数字的相乘)

常见进位制及其用途

底/基数	名称	描述
10	十进制	世界上最常见的算术运算位进制系统，它是2和5的乘积，用于大多数机械计数器。其十位数字为 “0-9”。
12	十二进制	因为有多个约数如2，3，4和6的易于整除性，它传统上用以表示数量和总数，如一打即为十二个单位。十二位数字为“0-9”，接着是“A”和“B”。
20	二十进制	因为有多个约数如2，4，5和10的易于整除性，在几种传统文化中的数字系统，仍然被用于计数。二十位数字为“0-9”，接着是“A-J”。
2	二进制	几乎所有的电子电脑内部都使用二进位制，分别为“0”和“1”表示“关”和“开”。用于大多数电子计数器。
16	十六进制	经常用于电脑领域，2到4次幂。十六位数字为“0-9”，接着是“A-F”。
8	八进制	偶尔用于电脑领域，2到3次幂。八位数字为“0-7”。
60	六十进制	起源于古代苏美尔并传给巴比伦人。六十成为3,4和5的乘积。今天用作现代圆形坐标系（度，分，秒）和时间测量（小时，分钟和秒）的基础。

八进位制和十六进位制系统通常用于计算机领域，因为它们可方便当作二进位制的简写。十六进位制数字对应于四位二进位制数字的序列，因为十六是二的四次方; 例如，十六进位制 78₁₆ 是二进制 1111000₂。八进位制数和二进位制的数字序列之间也有类似关系，因为八是二的立方。底数通常是自然数。 然而，其它位进制系统也是可能的。黄金比率底数（其底为非整数代 数）和负底数（其底为负数）。

参考文献

• O'Connor, John; Robertson, Edmund. Babylonian Numerals. December 2000 [21 August 2010]. （原始内容存档于2014-09-11）. 
• Kadvany, John. Positional Value and Linguistic Recursion. Journal of Indian Philosophy. December 2007. 
• Knuth, Donald. The art of Computer Programming 2. Addison-Wesley. 1997: 195–213. ISBN 0-201-89684-2. 
• Ifrah, George. The Universal History of Numbers: From Prehistory to the Invention of the Computer. Wiley. 2000. ISBN 0-471-37568-3. 
• Kroeber, Alfred. Handbook of the Indians of California. Courier Dover Publications. 1976: 176 [1925] [2014-07-17]. ISBN 9780486233680. （原始内容存档于2016-05-05）. 

外部链接

• 进位转换器（网页版） （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Accurate Base Conversion
• The Development of Hindu Arabic and Traditional Chinese Arithmetics
• Implementation of Base Conversion （页面存档备份，存于互联网档案馆） at cut-the-knot
• Learn to count other bases on your fingers （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• From one to another number system （页面存档备份，存于互联网档案馆）